Osobliwości pary kości
Najpopularniejszą oferowaną w kasynach grą hazardową z użyciem dwóch kości jest craps. Jej zasada wydaje się trywialna – obstawia się sumy oczek wyrzucanych parą kości (od 2 do 12). System zakładów bywa jednak dość skomplikowany, uwzględnia bowiem specyficzne następstwa niektórych konkretnych rzutów oraz kombinacji określonych sum.
Dwie kości są także głównym rekwizytem w modnej w krajach anglojęzycznych grze Shut the box – losowej, relaksowej, ale niehazardowej. Chodzi w niej o zaliczenie w serii rzutów dziesięciu liczb od 1 do 10; rzuca się dwiema kośćmi, a liczby można brać z dowolnej jednej kości albo tworzyć je jako sumy lub różnice wyrzuconych liczb. Gra Shut the box była nawet w latach 70. formalną podstawą emitowanego w telewizji NBC teleturnieju High Rollers.
Inną grą, w której używa się dwóch kości – popularną w wielu krajach (dawniej także w Polsce), ale planszową i strategiczno-losową – jest tryktrak, zwany też z angielska backgammonem. W tym przypadku nie uwzględnia się jednak sum ani różnic, lecz liczby oczek wyrzucanych każdą kością, choć rzuca się zawsze dwiema; liczby decydują o zasięgu przesunięcia wybranych pionów na planszy.
Warto wreszcie odnotować obecność pary kości nierozłączek w licealnych podręcznikach do matematyki, gdzie gości ona oczywiście w zadaniach z teorii prawdopodobieństwa. Na przykład: jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia parą kości:
a) sumy parzystej?
b) sumy większej niż 7?
c) sumy będącej liczbą pierwszą?
Przed 50 laty para kości pojawiła się w całkiem nowych okolicznościach. Początkujący amerykański programista George Sicherman postanowił zmierzyć się z następującym oryginalnym dwukościanym problemem: czy ścianki pary kości można oznaczyć inaczej, po nowemu, czyli innymi liczbami oczek niż (1, 2, 3, 4, 5, 6) – niekoniecznie jednakowymi na obu kościach, ale takimi, aby odpowiedzi na powyższe pytania (a, b, c) były w przypadku rzucania parą tych nowych kości takie same, jak przy rzucaniu tradycyjnymi kośćmi. Inaczej i ogólnie mówiąc, prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej sumy dwóch liczb zarówno jedną, jak i drugą, nową parą kości (dyskretny rozkład prawdopodobieństwa) powinno być identyczne. Jeszcze inaczej: liczba możliwości wyrzucenia każdej sumy powinna być w obu przypadkach jednakowa, a więc zastąpienie nową parą kości pary tradycyjnej nie miałoby teoretycznie żadnego wpływu na przebieg i wynik partii crapsa; ściśle rzecz biorąc, w wariantach tej i podobnych gier z uprzywilejowanymi dubletami (wyrzucenie kośćmi pary takich samych liczb) zastępstwo nie byłoby możliwe.
Dla pary tradycyjnych kości wszystkie 11 możliwych do wyrzucenia sum, ale obejmujących 36 kombinacji, zawiera diagram na rys. 1: jest jeden sposób wyrzucenia sumy 2 (1+1), dwa sposoby wypadnięcia sumy 3 (1+2 i 2+1), trzy – sumy 4 (1+3, 2+2, 3+1) itd. Sumę 7 można uzyskać na najwięcej, czyli sześć sposobów, więc prawdopodobieństwo wyrzucenia tej liczby jest maksymalne – 6/36=1/6. Dalej liczby możliwości, a więc i prawdopodobieństwa maleją, aż do sumy-jedynaczki 12 (6+6).
Dwie zwykłe kości można „przetłumaczyć” na dwa identyczne zbiory A złożone z sześciu różnych liczb od 1 do 6: {1,2,3,4,5,6}, a sumy wyrzucane tymi kośćmi na zbiór B – 36 sum par liczb pochodzących z dwu różnych zbiorów: {21,32,43,54,65,76,85,94,103,112,121}; indeks dolny przy sumie oznacza, ile razy występuje ona w zbiorze B. Problem Sichermana polegał więc na znalezieniu dwu innych 6-liczbowych zbiorów C i D – takich, które w wyniku analogicznego sumowania par liczb dałyby dokładnie taki sam finalny 36-liczbowy zbiór B. Sicherman przyjął racjonalny warunek, by wszystkie liczby były dodatnie (i oczywiście całkowite). Gdyby ten warunek pominąć, to można by podać zbiór z zerem, czyli z kością bez oczek na jednej ściance – {0,2,3,4,5,7}, który w parze ze zbiorem {2,3,3,4,4,5} działa jak należy. Pożądany efekt tego działania w wersji kościanej przedstawia diagram na rys. 2: suma 2 występuje raz, suma 3 – dwa razy, suma 4 – trzy itd. – dokładnie tak, jak w zbiorze 36-elementowym na rys. 1.
Sposoby zmagania się z problemem Sichermana są dwa (jeśli pominąć korzystanie z programu komputerowego): metoda prób i błędów oraz bardziej elegancka, ale trudniejsza faktoryzacja wielomianów. Zaczniemy od próbowania i błądzenia.
Skoro konieczne jest pojawienie się tylko jednej minimalnej sumy równej 2, więc oba zbiory C i D muszą zawierać 1, czyli:
C – {1,x,x,x,x,x}, D – {1,x,x,x,x,x}
Ponadto możliwa jest tylko jedna maksymalna suma 12 – stąd pięć podejrzanych par niekompletnych zbiorów:
C1 – {1,x,x,x,x,10}, D1 – {1,x,x,x,x,2}
C2 – {1,x,x,x,x,9}, D2 – {1,x,x,x,x,3}
C3 – {1,x,x,x,x,8}, D3 – {1,x,x,x,x,4}
C4 – {1,x,x,x,x,7}, D4 – {1,x,x,x,x,5}
C5 – {1,x,x,x,x,6}, D5 – {1,x,x,x,x,6}
W każdym zbiorze druga liczba musi być większa od pierwszej, czyli od 1, a przedostatnia mniejsza od ostatniej – w przeciwnym razie w zbiorze B pojawiłyby się dwie najmniejsze i dwie największe sumy. Ten warunek wyklucza dwie początkowe pary zbiorów: w D1 żadna liczba nie pasuje jako x, zaś D2 może mieć tylko postać {1,2,2,2,2,3}, a to, choćby ze względu na nadmiar sum 11, nie prowadzi do zbioru B.
Pozostają trzy pary zbiorów – (C3, D3), (C4, D4), (C5, D5). W każdej z tych par powinny pojawić się dokładnie dwie dwójki, aby utworzyć dwie sumy równe 3. Obie dwójki mogą trafić do jednego zbioru albo po jednej do każdego. To daje osiem możliwych par niekompletnych zbiorów (rys. 3).
Teraz warto zwrócić uwagę na zbiór D3 w trzeciej parze (C3, D3). Można go natychmiast uzupełnić do postaci {1,2,2,3,3,4}, a potem – wnioskując logicznie na podstawie wymaganej liczby poszczególnych sum – łatwo jest dopełnić właściwymi cyframi tworzący z nim parę zbiór C3 – {1,3,4,5,6,8}. W ten sposób docieramy do odpowiedzi na problemowe pytanie Sichermana: jeśli na jednej kostce znajdą się liczby (1, 2, 2, 3, 3, 4), a na drugiej (1, 3, 4, 5, 6, 8), to prawdopodobieństwo wyrzucenia tą parą kości każdej sumy będzie takie samo, jak w przypadku korzystania z pary tradycyjnych kości. Potwierdzeniem jest diagram na rys. 4. Wypadałoby jeszcze sprawdzić, czy to jedyna „zastępcza” para, analizując i próbując uzupełniać w podobny sposób pozostałe pary zbiorów na rys. 3. Nie jest to zbyt trudne i prowadzi do wniosku, że poza pierwszą z dwóch par C5D5, która po uzupełnieniu odpowiada dwóm tradycyjnym kościom – żadnej innej pary nie uda się dopełnić cyframi w wymagany sposób.
Sicherman odkrył dwie osobliwe kości – jak sam stwierdził – „po krótkiej zabawie”, czyli prawie na pewno próbując i błądząc. Jednak po ich pierwszej prezentacji w roku 1978 na łamach „Scientific American” w dziale redagowanym przez Martina Gardnera kilku czytelników nadesłało listy, zawierające ściśle matematyczną metodę odkrywania kości wraz z dowodem, że para jest unikalna. Gardner wspomniał o tej korespondencji, ale sposób rozwiązania, bazujący na tzw. funkcji tworzącej, uznał za zbyt skomplikowany, aby zamieścić go w swojej adresowanej do szerokiego grona czytelników rubryce. Ja zaryzykuję.
Algebraicznym odpowiednikiem tradycyjnej kości do gry, a właściwie rzucania nią, jest funkcja:
P(x)=(x+x2+x3+x4+x5+x6)
Wbrew pozorom nie chodzi tu o obliczenie P(x) po podstawieniu jakiegoś x. Każdy wyraz xk, a ściślej cxk, oznacza c ścianek (w tym przypadku c=1) z liczbą oczek k na ściance kostki, które mogą wypaść po rzucie; x jest po prostu symbolem ścianki kostki. Wykładniki nie są wykładnikami potęg, ale mają z nimi pewne cechy wspólne. Przede wszystkim taką, że wyrazy xk mnożymy jak potęgi, np. x2·x3=x5, co oznacza wyrzucenie dwiema kośćmi dwójki i trójki, a więc w sumie piątki. Podobnie w przypadku potęgowania, czyli (xk)n=xkn. Warto też zauważyć, że dla x=1 P(x) równe jest liczbie ścianek kostki.
Uwzględniając te cechy, przy rzucaniu dwiema kośćmi i uznawaniu sumy wyrzuconych oczek za wynik rzutu, algebraicznym odpowiednikiem tej czynności jest iloczyn dwu kościanych wielomianów, czyli kwadrat:
[P(x)]2=(x+x2+x3+x4+x5+x6)2=x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+5x8+4x9+3x10+2x11+x12
Wzór ten odpowiada rzucaniu hipotetyczną 36-ścienną kością, na której ściankach jest jedna dwójka, dwie trójki, trzy czwórki itd., aż do dwóch jedenastek i jednej dwunastki.
Kluczowy etap poszukiwań osobliwych kości stanowi rozkład wielomianu P(x) na czynniki, które dla x=1 będą liczbami niezłożonymi. Po wyciągnięciu x przed nawias: x·(1+x+x2+x3+x4+x5), a następnie skorzystaniu kolejno z ogólnych wzorów:
(a0+a1+a2+a3+…+an-1)·(a-1)=an–1 – (mnożenie i dzielenie P(x) przez x-1)
a2-b2=(a-b)·(a+b) – (dotyczy x6–1)
a3-b3=(a-b)·(a2+ab+b2) – (dotyczy x3–1)
a3+b3=(a+b)·(a2-ab+b2) – (dotyczy x3+1)
otrzymamy końcowy iloczyn:
P(x)=x·(x2-x+1)·(x+1)·(x2+x+1)
„Przeniesienie” tego iloczynu na dwie kości, czyli podniesienie go do kwadratu, prowadzi do wzoru:
[P(x)]2= x2·(x2-x+1)2·(x+1)2·(x2+x+1)2
Po podstawieniu x=1 otrzymamy:
[P(x)]2=12·(1’)2·22·32=36 (1 i 1’ są różnymi jedynkami, ponieważ zastępują różne wyrażenia).
Ten iloczyn można złożyć na pięć sposobów w dwa iloczyny równe 6, czyli odpowiadające parze kości z 6 ściankami:
A) 1·1’·2·3 = 1·1’·2·3
B 1·1·2·3 = 1’·1’·2·3
C) 1·1·1’·2·3 = 1’·2·3
D) 1·1’·1’·2·3 = 1·2·3
E) 1·1·1’·1’·2·3 = 2·3
Po zastąpieniu w działaniach cyfr odpowiadającymi im wyrażeniami z iksem i przekształceniu wielomianów do kościanej postaci uzyskamy algebraiczne zapisy par kości. Pierwszą z nich (A) tworzą oczywiście tradycyjne kości, czyli para P(x). Szukaną parą Sichermana jest natomiast ta, która odpowiada jedynej równości iloczynów cyfrowych z jedynką zastępującą x umieszczoną po obu stronach znaku równości. Musi tak być, ponieważ x oznacza konieczność pojawienia się jedynki na kostce. Taka równość jest tylko jedna – D, czyli unikalna jest także para kości Sichermana. W przypadku trzech pozostałych par (B, C, E) w odpowiadających im wielomianach pojawia się wolny wyraz (cx0), czyli pusta ścianka. Na przykład parę B tworzą kości (0, 2, 3, 4, 5, 7) i (2, 3, 3, 4, 4, 5), którym odpowiada diagram z sumami na rys. 2.
Naturalną konsekwencją odkrycia kości Sichermana było najpierw szukanie tercetów kości, które mogłyby na podobnej zasadzie „zastępować” tercet standardowych kości (216 kombinacji sum w zakresie od 3 do 18), a potem uogólnienie tego zagadnienia do dowolnie licznych „bliźniaczych” zestawów. Okazało się, że jeśli jakiś zestaw n nietypowych kości ma zastąpić n kości tradycyjnych, to musi składać się z kości Sichermana i tradycyjnych – inne nietypowe kości nigdy się w nim nie pojawiają.
Jak wiadomo liczby na standardowych kościach rozmieszczone są tak, że suma każdych dwu ulokowanych na przeciwległych ściankach jest taka sama – równa 7. Uwaga: liczbą wyrzucaną kością czworościenną jest ta, która po rzucie znajduje się na spodniej, niewidocznej ściance. W takim połączeniu w pary liczb od 1 do 6 nie ma nic dziwnego. Natomiast w przypadku kości Sichermana analogiczny układ par vis-a-vis, dających jednakową sumę, można uznać za osobliwość; sumy są oczywiście inne – 5 na jednej kości i 9 na drugiej. Inaczej mówiąc, aby wymiana x iloczynów w jednym zestawie dawała drugi zestaw – przy czym x powinno być minimalne. Tak „ponumerowane” kości, tradycyjna i obie Sichermana, znajdują się na rys. 5 – każda widziana z przodu i z tyłu (odbicie w lustrze).
Zadania
1. Na ściankach standardowej kości czworościennej znajdują się liczby (1, 2, 3, 4). Rzucając dwiema takimi kośćmi, można uzyskać sumy od 2 do 8 – każdą z określonym prawdopodobieństwem. Jakie liczby powinny się znaleźć na ściankach dwu niestandardowych kości czworościennych, aby prawdopodobieństwo wyrzucenia nimi każdej liczby od 2 do 8 było takie samo, jak przy rzucaniu kośćmi standardowymi?
2. Dysponujemy trzema niestandardowymi kośćmi sześciennymi. Na ściankach jednej z nich są liczby (0, 1, 1, 2, 2, 3), na drugiej (1, 1, 3, 3, 5, 5). Jakie liczby są na trzeciej kości, jeśli przy rzucaniu równocześnie wszystkimi trzema prawdopodobieństwo wyrzucenia nimi każdej liczby z zakresu od 2 do 12 jest takie samo, jak przy rzucaniu dwiema standardowymi kośćmi?
3. Mnożąc pary liczb z dwóch standardowych kości sześciennych otrzymamy 36 iloczynów – w tym 18 różnych, należących do zakresu od 1 do 36. Jakimi liczbami należy oznaczyć ścianki dwu innych, niestandardowych kości sześciennych, aby zestaw 36 podobnie utworzonych iloczynów dla tych kości jak najmniej różnił się od analogicznego zestawu dla kości standardowych?
Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 września br. pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 09/22. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Nathana H. Lentsa Człowiek i błędy ewolucji. Niepotrzebne kości, zepsute geny i inne niedoskonałości ludzkiego ciała ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:
Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.
Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.
***
Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”.
***
Rozwiązania zadań z numeru lipcowego
1. Suma liczb na przekątnych – 88 (57+31). Pełne rozwiązanie na rys. 6.
2. Od kwadratu początkowego do końcowego można dotrzeć, wykonując kolejno 3 przekształcenia: zamiana miejscami dwójek z trójkami, przestawienie wierszy drugiego i trzeciego, przestawienie kolumn drugiej i trzeciej. Wszystkie przekształcenia na rys. 7.
3. Suma liczb na nieoznaczonej przekątnej – 51. Pełne rozwiązanie na rys. 8.
Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Ai Raden Prawda o kłamstwach, ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS otrzymują: Sławomir Blicharz z Warszawy, Grzegorz Górzny z Wrocławia, Daniel Kłobuszewski z Warszawy, Magdalena Kotas z Wrocławia, Renata Mentlewicz z Łazów.