Śladem indyka, czyli o cięciu polimin

Łamigłówki niepoprawne politycznie to rzadkość. Zdarzają się wprawdzie i takie, których celem jest świadome zdyskredytowanie kogoś lub czegoś, ale z reguły niepoprawność jest efektem nieuwagi lub niefrasobliwości. W Polsce zapewne najbardziej znanym przykładem takiej publikacji, która wywołała mały skandal, było zamieszczenie w wydanym w 2009 roku zbiorze zadań matematycznych dla młodzieży łamigłówki, będącej wariantem tzw. problemu Flawiusza – niestety, w formie sprzed kilku wieków, uznawanej dziś przynajmniej za kontrowersyjną, więc trudną do zaakceptowania: 15 chrześcijan i 15 Turków płynących statkiem należało tak ustawić w krąg, aby odliczając w koło do dziewięciu, każdy co dziewiąty był Turkiem natychmiast… wyrzucanym za burtę – aż do pozbycia się wszystkich innowierców.

Turcy wydają się szczególnie podatni na niepoprawności, bo inną zostali dotknięci kilkanaście lat wcześniej – w węższym gronie, ale za to międzynarodowym. Na pierwszych mistrzostwach świata w rozwiązywaniu łamigłówek, zorganizowanych w Nowym Jorku w roku 1992, pojawiło się zadanie polegające na dzieleniu figury, czyli typowe dla geometrii rekreacyjnej. Problem w tym, że figura kształtem przypominała indyka, kojarzącego się Amerykanom z potrawą serwowaną w Dniu Dziękczynienia, a łamigłówkę zatytułowano „Cutting the Turkey”. Uczestnicząca w mistrzostwach drużyna turecka uznała „Cięcie Turcji” za ciche wsparcie tendencji separatystycznych w ich kraju (Kurdowie) i urządziła widowiskowy protest wobec bogu ducha winnych organizatorów. Na szczęście konflikt udało się załagodzić.

Z indykiem sprzed 30 lat (rys. 1a) nietrudno sobie poradzić. Zadanie polega na podzieleniu go na dwie „porcje” przystające, a więc mające taki sam kształt i wielkość, nie wykluczając oczywiście przystawania lustrzanego. Wprawdzie nie są znane uniwersalne metody rozwiązywania takich zadań, ale w niektórych przypadkach istnieją sposoby prowadzące do celu, pozwalające uniknąć metody prób i błędów albo przynajmniej znacznie ją ograniczyć. Ponadto „Cięcie indyka” jest specyficzne, bo należy do przynajmniej formalnie prostszego działu geometrii „fragmentacyjnej”, w którym dzielone figury są poliminami, czyli fragmentami siatki kwadratowej, a linie cięcia muszą biec po liniach siatki. Takie właśnie figury i zasady ich podziału są tematem niniejszego artykułu.

Na początku warto zauważyć, że podział indyka jest także podziałem jego brzegu na dwa odcinki linii łamanej. Ściślej: punkty końcowe linii dzielącej indyka dzielą jego brzeg na dwie części równej długości, a na tych częściach zawsze są fragmenty przystające. W związku z tym podział można zacząć od oznaczenia na obwodzie indyka dwóch najdłuższych przystających fragmentów tego obwodu – są to linie czerwona i niebieska na rys. 1b. Teraz wystarczy nałożyć na siebie dwa takie rysunki (np. na kalce lub na ekranie monitora), a następnie obrócić jeden z nich o 90° i przesunąć tak, aby kolorowe linie się pokryły i… rozwiązanie gotowe – fragment brzegu obróconego białego indyka wyznacza podział żółtego (zielona linia na rys. 1c).

Łatwo wywnioskować, że taki „automatyczny” obrotowy sposób dzielenia jest skuteczny wtedy, gdy linia dzieląca jest fragmentem brzegu figury dzielonej – i to takim, który w całości będzie też fragmentem brzegu jednej figury składowej.

Dwie porcje indyka nadają się do składania innych stworów. „Smoka” (rys. 2a) także uda się podzielić obrotowo, mimo że w tym przypadku w grę wchodzą odbicia lustrzane. Tak samo można poradzić sobie z „kroczącym orkiem” (rys. 3a); natomiast „konik morski” (rys. 4) już się sposobowi obrotowemu nie poddaje, choć bardzo łatwo go podzielić bez korzystania z jakiegokolwiek sposobu oraz bez informacji, że powstał z indyczych porcji. Porcje połączone są jednak tymi samymi fragmentami ich brzegu (a nie tylko takimi samymi), więc linii dzielącej nigdzie na brzegu konika już nie ma. Warto też zauważyć, że na rys. 1d, 2c i 3c linia dzieląca występuje na brzegu indyczych porcji dwukrotnie (czerwona i niebieska) – jako wklęsłość i wypukłość; inaczej mówiąc, jako odlew z formy i forma albo jako oryginał i jego odbicie w lustrze.

W przypadku dzielenia figur z takim rodzajem połączeń dwu części jak w koniku morskim – ale oczywiście bardziej skomplikowanym – efektywne bywa skorzystanie z tzw. metody mrówek, wzmiankowanej w tej rubryce przed wielu laty. Oto jej przypomnienie na konkretnym przykładzie.

Do podzielenia na dwie przystające części jest ośmiobok utworzony z prostokąta po wycięciu dwóch narożnych fragmentów (rys. 5a). Oznaczono w nim pary rogów – a i a’, b i b’ oraz c i c’, takich, że każda para dzieli obwód (28) na dwie części równej długości (14), ale punkty narożne w żadnej parze na pewno nie są końcami linii dzielącej. Zakładamy, że boki bc i b’c’ należą do różnych części. W punktach b i b’ umieszczamy mrówki B i B’, poruszające się w przeciwnych kierunkach. Mrówki starają się iść w obrębie figury po liniach siatki tak, aby kształt trasy każdej z nich był taki sam. Mrówka B rusza w drogę, idąc po brzegu; w punkcie c’ skręca w prawo i dociera do a’, więc mrówka B’ w punkcie m powinna skręcić w lewo i dotrzeć do punktu n, odpowiadającego a’. Następnie mrówka B, idąc dalej brzegiem, trafia do punktu m, zatem B’ kopiuje ten fragment, docierając przez punkt o do p. Aby trasy mrówek się pokrywały, B musi teraz z punktu m podążać szlakiem wytyczonym przez B’, a to z kolei wyznacza dalszą trasę mrówki B – i tak dalej trwa kopiowanie odcinków wyznaczanej trasy aż do dotarcia do brzegu ab, czyli do „wydeptania” całej linii dzielącej (rys. 5b).

Oczywiście, metoda mrówek nie zawsze jest skuteczna i wymaga wybrania właściwej pary rogów startowych. Na przykład rozpoczęcie na rys. 5a od pary c i c’ prowadzi na manowce. Bywają też dwuczęściowe podziały, przy szukaniu których ani sposób obrotowy, ani mrówczy nie działają. Przykładem jest figura na rys. 6a. Tutaj należałoby skorzystać z metody składającej się z odbicia (lustro pionowe) i przesunięcia, aby np. dolny brzeg odbitej i przesuniętej białej figury (rys. 6b) wyznaczył zieloną linię podziału na żółtej figurze. Czasem sposób podziału jest jeszcze prostszy – wystarcza przesunięcie mimo pozornie skomplikowanej figury, jak np. na rys. 7.

Powróćmy do indyka. Gdyby jego prawą stronę nieco zniekształcić i pozbawić dziobu, powstałaby figura odpowiednia do podzielenia na trzy części przystające (rys. 8). Byłoby to jednak zadanie trywialnie proste, bo ogon takiego paraindyka umożliwia jednoznaczne określenie kształtu części składowych. Natomiast większość zadań polegających na dzieleniu figur na więcej niż dwie części przystające jest trudna lub bardzo trudna, bo nie są znane żadne ogólne sposoby dzielenia. Pozostaje metoda prób i błędów – wsparta oczywiście logiką, dzięki której można choćby ustalić, które kratki będą na pewno należały do tej samej części, a które do różnych. Trudność takich zadań polega też w dużym stopniu na tym, że wymagają one sprawnej wyobraźni przestrzennej, choć przestrzeń jest dwuwymiarowa (odbicie lustrzane jest jednak przekształceniem w trzech wymiarach). Nierzadko też pojawiają się w nich podpowiedzi, polegające na wskazaniu kratek, które powinny znaleźć się w różnych częściach. Najtrudniejsze bywają jednak, ale nie zawsze, podziały na części (niezależnie od ich liczby) figur nieciągłych, czyli z otworem lub otworami w środku. Dość łatwy przykład, wymagający podziału na trzy części przystające (rys. 9), może być treningiem przed zadaniami konkursowymi.

Gdy indyk pojawił się na moim blogu, jeden z komentatorów zauważył, że pasuje on także do pokrewnego rodzaju zadań. Chodzi w nich o podział „kratkowego” wielokąta na części o takiej samej powierzchni, ale o różnym kształcie. Indyk obejmuje 30 kratek i nadaje się do podzielenia na 15 domin, 10 trimin, 6 pentomin lub 5 heksomin. Kształt domina jest jednak tylko jeden, a trimina dwa, czyli o wiele za mało, zaś heksomin przeciwnie – aż 35, co owocuje nadmiarem rozwiązań. Natomiast pentomino okazuje się idealne. Proszę więc spróbować podzielić indyka (rys. 1a) na sześć części o takiej samej wielkości, ale o różnym kształcie. Podział jest tylko jeden.

Zadania

Każde zadanie polega na podzieleniu figury wzdłuż linii przerywanych na X części przystających. Jako rozwiązanie można przesłać rysunek lub podać „numery” kratek tworzących dowolne X-1 części.

1. X=2 (rys. 10).

2. X=2 (rys. 11). W każdej części powinny się znaleźć trzy zielone kratki.

3. X=3 (rys. 12).

4. X=5 (rys. 13). Szare pola to otwory w figurze.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 grudnia br. pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 12/22. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Dziesięć leków, które ukształtowały medycynę Thomasa Hagera ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

*Miniatury matematyczne 12, wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2009

***

Rozwiązania zadań z numeru październikowego

1. Krzyżówka 3×3 z liczb pierwszych, wśród których jest najwięcej (cztery wskazane strzałkami) „matek” z dwojgiem lub trojgiem „dzieci” – na rys. 14 (rozwiązanie przykładowe).

2. Mnożenie liczb pierwszych domowych: 227×233=528914

3. Dwucyfrową liczbą pierwszą, do której nie sposób dotrzeć w procesie iteracji, polegającym na dodawaniu w każdym etapie do liczby złożonej utworzonej w poprzednim etapie dowolnej z cyfr tej liczby – jest 43.

4. Dziesięć kroków iteracji (takiej, jak w zadaniu 3), prowadzących od 22194 do 22229: 22194-22198-22207-22209-22218-22219-22221-22223-22225-22227-22229).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Nathana Lentsa Człowiek i błędy rewolucji, ufundowaną przez wydawnictwo Rebis, otrzymują: Krystian Bugalski z Gdyni, Wojciech Koziński z Warszawy, Robert Stachura z Krakowa, Mariusz Trzyna z Hyżnego, Andrzej Żołyński z Zielonej Góry.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”.