Zuckermania, czyli o liczbach samo-dzielnych

Zamieszczony w tej rubryce przed kilku laty artykuł zaczynał się historyjką o Nikodemie Dyzmie, który próbował odgadnąć szyfr do sejfu Leona Kunickiego. Szyfr był liczbą 3-cyfrową, a klucz do jej ustalenia stanowił „warunek Kunickiego”, czyli informacja: „suma cyfr szyfrowej liczby jest tyle razy mniejsza od iloczynu jej cyfr, ile razy ten iloczyn jest mniejszy od samej liczby”. Trudne wyzwanie stanowi uporanie się bez komputerowego wsparcia z odpowiadającym tej informacji wzorem:

Rozwiązanie jest oczywiście tylko jedno, bo w zamkach szyfrowych alternatywy nie są mile widziane. To liczba 735 i – co ciekawe – większej spełniającej „warunek Kunickiego” prawdopodobnie nie ma (komputery sprawdziły do 10³⁰⁰), a mniejsza, jeśli pominąć jednocyfrowe, jest tylko jedna – 36. Obie te liczby, 36 i 735, należą do dwóch ciągów. Pierwszy składa się z tzw. liczb Nivena – podzielnych przez sumę ich cyfr. Drugi tworzą liczby Zuckermana – podzielne przez iloczyn swoich cyfr. Ivan Niven (1915–1999) i Herbert Zuckerman (1912–1970) byli amerykańskimi matematykami, autorami wielokrotnie wznawianego i tłumaczonego na kilka języków podręcznika teorii liczb. Liczby Nivena gościły już w tej rubryce. Pora na zawarcie bliższej znajomości z liczbami Zuckermana nazwanymi w tytule samo-dzielnymi, bo ich dzielnikiem jest iloczyn ich własnych cyfr.

Wstęp do komitywy mogą stanowić dwa proste zadania, pojawiające się czasem w podręcznikach do matematyki. Pierwsze polega na znalezieniu dwucyfrowej liczby, która jest dwukrotnie większa od iloczynu jej cyfr (podawanie, że chodzi o dwucyfrową, teoretycznie nie jest konieczne, bo większej nie ma); drugie – na udowodnieniu, że iloczyn cyfr dowolnej liczby naturalnej, przynajmniej dwucyfrowej, jest zawsze mniejszy od tej liczby. Pierwsze zadanie sprowadza się do równania: 10a+b=2ab; jego rozwiązaniem jest wspomniane 36. W przypadku drugiego wystarczy zauważyć, że liczba c-cyfrowa zaczynająca się cyfrą a, jest nie mniejsza niż a×10^c-1, a iloczyn jej cyfr nie przekracza a×9c^-1; zaś 10^c-1>9^c-1.

Liczba Zuckermana (w skrócie Z) jest oczywiście podzielna przez każdą z jej cyfr. Jeśli jednak zapytać kogoś o odwrotną zależność: czy liczba podzielna przez każdą z jej cyfr jest podzielna przez iloczyn tych cyfr? – to często także pada odpowiedź twierdząca. Dopiero po chwili zastanowienia następuje zmiana decyzji i odkrycie, że nie zawsze tak jest, a najmniejsza „czarna owca” to 22. Największej nie ma, m.in. dlatego, że każda liczba „monocyfrowa”, czyli złożona z jednakowych cyfr (oprócz jedynek), ma tę własność; jest też wiele takich liczb „heterocyfrowych”, na przykład 48, 124, 126, …, 984 312. Liczby Z stanowią zatem niewielką część zbioru liczb podzielnych przez każdą z ich cyfr – zwanych nagimi. Nagość stąd, że cyfry tworzące liczby są ich dzielnikami umieszczonymi jakby „na wierzchu”, a więc niczym „nieosłoniętymi”. Liczb nagich w zakresie do miliona jest 9039 – wśród nich tylko 476, czyli nieco ponad 5%, to liczby Z. W tym samym zakresie liczby Z stanowią 10% zbioru liczb zZ, obejmujących także liczby z zerami, a podzielnych przez iloczyn swoich cyfr z pomijaniem zer. Na marginesie warto zauważyć, że teoretyków liczb bardziej interesuje zbiór zZ niż jego część Z, o czym świadczą artykuły w czasopismach matematycznych.

W drugiej kolumnie tabeli 1 znajduje się ciąg liczb a_n=Z dla 1≤n≤35; trzecia kolumna zawiera iloczyny cyfr PZ, a czwarta ilorazy Q_Z – wyniki dzielenia każdej liczby Z przez iloczyn P_Z. Zastanawiająca może być obecność iloczynów cyfr liczb jednocyfrowych, które równe są samym liczbom – tak, jakby były one mnożone przez 1. Równie dobrze tych iloczynów mogłoby nie być, bo trudno mówić o mnożeniu, gdy nie ma przez co mnożyć. To, że iloczyn cyfr liczby jednocyfrowej równa się tej liczbie, jest więc kwestią umowy, którą można uzasadnić tym, że mnożenie przez „nic” jest mnożeniem przez element neutralny, czyli w przypadku mnożenia przez jedynkę (w dodawaniu elementem neutralnym jest zero, więc suma cyfr liczby jednocyfrowej także równa jest tej liczbie, ale to nie budzi wątpliwości).

Z tabeli 1 można wywnioskować, że ciąg liczb Z, podobnie jak ciąg liczb pierwszych, nie podlega żadnej regule, czyli nie jest znany wzór, który pozwoliłby wyznaczać kolejne liczby. Można jednak określić ogólne warunki, jakie muszą one spełniać. Po pierwsze: oczywistym jest, że w liczbie Z nie może być zera; nie może też ona zawierać równocześnie piątki i liczby parzystej, bo wtedy iloczyn P_Z kończyłby się zerem, więc nie byłby dzielnikiem Z. Po drugie: liczba z cyfrą x powinna spełniać cechę podzielności przez x. Na przykład, liczba z cyfrą parzystą musi kończyć się cyfrą parzystą, a liczba z piątką (bez parzystej) – piątką; suma cyfr liczby z trójką (dziewiątką) musi być podzielna przez 3 (9); dwucyfrowa liczba-końcówka Z musi być podzielna przez 4, jeśli w Z jest czwórka itd. Po trzecie: dla Z>9 konieczne jest, aby P_Z≤Z/2, bo w przeciwnym razie Q_Z<2. Tak surowe warunki powodują, że gęstość liczb Z wśród liczb naturalnych bardzo szybko maleje, a wielkość średniego odstępu między kolejnymi liczbami równie szybko rośnie. Wśród pierwszego miliarda liczby Z stanowią zaledwie 0,008 promila, podczas gdy na przykład liczb pierwszych jest ponad 6 tys. razy więcej. Charakterystyczne są coraz dłuższe „skoki” pozbawione Z, gdy zmienia się rząd liczby. W tabeli 1 są to: skok o długości 2 między 9 a 11, 75 między 36 a 111 oraz 295 między 816 a 1111; ale na przykład skok nad milionem ma już długość 137 383 – od 973 728 do 1 111 111. Obecność liczb „jedynkowych” i prawie „jedynkowych”, w rodzaju 1112 i 1115, daje pewność, że ciąg liczb Z jest nieskończony. Natomiast skończony jest podciąg liczb złożonych z różnych cyfr bez powtórek – i jest on stosunkowo krótki (46 wyrazów): 1–9, 12, 15, 24, 36, 128, 132, 135, 175, 216, 312, 315, 384, 432, 612, 624, 672, 735, 816, 1296, 2916, 3276, 3915, 6912, 9315, 9612, 13 248, 13 824, 18 432, 28 416, 61 824, 64 128, 89 712, 91 728, 167 328, 438 912, 671 328, 912 384. Interesująca jest obecność w tym podciągu liczb z jednakowym iloczynem cyfr, które są względem siebie anagramami – w tym jednego kwartetu: 1296, 2916, 6912, 9612 – P_Z=108 (podobne osobliwości są dość częste; anagramami bywają nawet pary Z i odpowiadające im Q_Z, np. 13 248→69 i 18 432→96). Prawdopodobnie skończony jest także podciąg Z-gigantów – liczb zawierających wszystkie osiem różnych cyfr (bez 0 i 5) z dozwolonymi powtórkami, zaczynający się od 1 196 342 784 _(PZ=290304, Q_Z=4121). Z innych podciągów Z warto zwrócić uwagę na złożone z liczb, którym odpowiadają ilorazy Q_Z o określonych własnościach.

W tabeli 2 podane są: w pierwszej kolumnie ilorazy Q_Z w zakresie do 50; w drugiej liczby Z, po których podzieleniu przez iloczyn ich cyfr (trzecia kolumna) powstaje dany iloraz. Do Q_Z=30 podane są wszystkie liczby Z, dalej tylko najmniejsze, które i tak są niemałe. Jak widać, niektórych ilorazów brakuje, ponieważ nie ma liczb Z, które by je generowały. Takimi brakami są oczywiście wszystkie ilorazy zakończone zerem, a ponadto tworzące ciąg, którego początek stanowią pominięte w tabeli: 15, 16, 24, 25, 26, 32, 35, 38, 39, 42, 43, 47, … . Inaczej mówiąc, nie ma na przykład takiej liczby X, która pomnożona przez 16 dałaby liczbę, której iloczyn cyfr byłby równy X. Próbując taką znaleźć, można jednak trafić bardzo blisko celu, wybierając X=159, bowiem 159×16=2544, a 2×5×4×4=160, czyli X+1.

Jak wynika z tabeli 2 liczba 1575 jest największą dającą jednocyfrowy iloraz. A jaka jest największa, owocująca ilorazem 2-cyfrowym? Iloraz Q_Z<10 może być teoretycznie wynikiem dzielenia przez iloczyn swoich cyfr nawet liczby 21-cyfrowej (złożonej wyłącznie lub prawie wyłącznie z dziewiątek). Praktycznie jednak warunek, aby wynik był liczbą całkowitą, znacznie skraca liczbę, czego potwierdzeniem jest Z=1575. Podobna uwaga dotyczy ilorazu 10<Q_Z<100. Teoretycznie mogłaby go generować liczba złożona z 43 cyfr. W praktyce cyfr mamy tylko dziesięć: 1 269 789 696=17 635 968×72. Wiadomo też, że największą liczbą Z, dającą iloraz 3-cyfrowy, jest 96 979 764 768 768=167×580 717 154 304. Dla ilorazów złożonych z czterech i więcej cyfr długość ich „generatorów” nie jest pewna.

Wszystkie jedno- i dwucyfrowe liczby Z oraz wszystkie „jedynkowe” mają tę własność, że generują ilorazy, które są mniejszymi liczbami Z. Cecha ta jest właściwa także niektórym innym liczbom, a kilka zachowuje ją do trzeciego „pokolenia”. Takich wytrwałych w generowaniu Z liczb Z jest pięć. Wszystkie one oraz trzy etapy działania każdej przedstawione są w tabeli 3.

Inny ciekawy podciąg tworzą liczby Z podzielne także przez sumę swoich cyfr, czyli będące równocześnie liczbami Nivena (N). Spełniają więc one wzór ZN=Q_Z×P_Z=Q_N×S_N, gdzie Q_Z i Q_N są dzielnikami liczby ZN, P jest iloczynem, a S sumą jej cyfr. Liczby ZN obejmują blisko 2/3 zbioru Z, w tym wspomniane na wstępie 36 i 735. Tabela 4 zawiera początek ciągu liczb ZN. Kolorem niebieskim wyróżnione są wiersze z osobliwymi liczbami sp, równymi iloczynowi sumy i iloczynu swoich cyfr: 135=(1+3+5)(1×3×5), 144=(1+4+4)(1×4×4). Czy takich osobliwych liczb jest więcej? Niełatwo bez komputerowego wsparcia odpowiedzieć na to pytanie, ale nietrudno ograniczyć zakres poszukiwań, czyli dowieść, że istnieje granica, poza którą na pewno liczb sp nie ma:

Jeśli sp jest liczbą c-cyfrową, której sumą cyfr jest S, a iloczynem P, to mamy trzy nierówności:

10^c-1≤sp; S≤9c; P≤9^c

Ponieważ sp=S×P, więc:

10^c-1≤9c×9^c

Ta nierówność spełniona jest tylko dla c≤84. Zatem liczba sp może składać się co najwyżej z 84 cyfr; stąd S≤9×84=756, a P≤sp<10⁸⁵. Poza tym iloczyn P powinien wyrażać się wzorem 2^a3^b7^c lub 3^a5^b7^c. Dlaczego dwójka i piątka nie mogą być w tym samym wzorze? – wiadomo. A ciąg dalszy poszukiwań jest już zadaniem dla komputera. Poszukiwań, niestety, prawdopodobnie bezowocnych.

Zadania

1. Jaka jest najmniejsza liczba Zuckermana, mająca następującą własność: jeśli dopisać do niej na końcu dwie cyfry – najpierw zero, a potem dowolną cyfrę c – to otrzymana w ten sposób dłuższa liczba będzie podzielna przez c?

2. Nietrudno dowieść, że cztery kolejne liczby naturalne nie mogą być liczbami Zuckermana (Z), a trzy pojawiają się tylko w postaci 1_3n1, 1_3n2, 1_3n3, gdzie indeks 3n oznacza liczbę początkowych jedynek równą wielokrotności trzech. Inaczej jest w przypadku liczb zZ, czyli zawierających zera i podzielnych przez iloczyn tworzących je cyfr z pominięciem zer. Ile najwięcej kolejnych liczb naturalnych może być liczbami zZ?

3. 21 liczb Zuckermana należy wpisać do diagramu (rys. 1) tak, aby powstało rozwiązanie krzyżówki liczbowej. 18 liczb podanych jest pod diagramem; wartości trzech pozostałych – jednej 4-cyfrowej i dwóch 5-cyfrowych – należy ustalić samemu i podać jako rozwiązanie końcowe.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 września br. pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 09/21. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Michio Kaku Boskie równanie. W poszukiwaniu teorii wszystkiego ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.p

***

Rozwiązania zadań z numeru lipcowego

1. Trzecie ustawienie 10 skoczków na szachownicy przedstawia rys. 2. Jest ono DP i DT.

2. Na szachownicy 6x6 można ustawić najwięcej 20 skoczków tak, aby każdy atakował dwa inne. Przykład na rys. 3.

3. 15/33, czyli 15 załamań na trasie przechodzącej przez 33 pola. Pełne rozwiązanie na rys. 4.

4. Cyfry na przekątnej: 367591417. Pełne rozwiązanie na rys. 5.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Rebekki Wragg Sykes Krewniacy. Życie, miłość, śmierć i sztuka neandertalczyków, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Małgorzata Bagińska z Białej Podlaskiej, Waldemar Karpiński z Nowego Miasta Lubawskiego, Dariusz Pączkiewicz z Ustanowa, Antoni Jan Stańczak z Krakowa, Kamil Zaborowski z Suwałk.