Maryna Wiazowska: Problem musi być piękny

Kula wpisana w walec. Jej powierzchnia stanowi dwie trzecie jego powierzchni. Podobnie jest z objętościami. Dowiódł tego Archimedes. Był tak dumny z wyniku, że kazał uwiecznić dwie bryły na swoim nagrobku. Grób genialnego Greka nie przetrwał, ale obraz tak – na medalu wręczanym co cztery lata najwybitniejszym matematykom świata.

W tym roku złoty krążek trafił w ręce trzech wybitnych naukowców, których nazwiska zapewne szybko znikną z kolektywnej pamięci. To James Maynard z University of Oxford, June Huh z Princeton University i Hugo Duminil-Copin z podparyskiego Institute of Advanced Scientific Studies. Wyjaśnienie tematyki ich badań wykracza poza ramy prasy głównego nurtu.

Fields trafił też do Maryny Wiazowskiej. Jej nazwisko szybko wybiło się na szczyt listy zapytań Google’a. Bo nie dość, że jest kobietą, to jeszcze kobietą ukraińską. A przy tym istotę jej odkrycia da się wyjaśnić bez ofiar wśród czytelników – bo budzi skojarzenia z czymś codziennym i namacalnym. Zastosowanie tu mają słowa samej Wiazowskiej. – Jak wybieram problemy, których się podejmuję? Muszą być piękne. I muszą odnosić się do czegoś już mi znanego.

Struktury skrajnie nieoczywiste

Kwestia, którą zajęła się Wiazowska, jest stara jak świat: Jak możliwie gęsto wypełnić przestrzeń kulami? W dwóch wymiarach sprawa jest prosta, bo w nich kula to nic innego jak koło. Każda pszczoła budująca ul zna rozwiązanie: plastry miodu składa z sześciokątnych komórek. Koła należy ułożyć identycznie. Wypełnią ponad 90 proc. powierzchni.

Jak się rzeczy mają w trzech wymiarach? Johannes Kepler pytał o to już w roku 1611 i wpadł na dobry pomysł: kule należy ułożyć w piramidę, tak jak to robią sprzedawcy pomarańczy na bliskowschodnich czy azjatyckich straganach. Wypełnią wtedy ok. 74 proc. przestrzeni. Ale wielki Niemiec nie potrafił udowodnić, że kul nie da się upakować jeszcze gęściej.

Niemal 400 lat później zrobił to matematyk amerykański Thomas Hales. Ale w mało przekonywającym, siłowym stylu: do dowodu, który spisał na 250 stronach, doszedł, wspomagając się komputerem. Upłynęło wiele czasu, zanim matematycy zdołali osiągnąć graniczące z pewnością przekonanie, że miał rację.

Kiedy liczba wymiarów przekracza cztery, prosta intuicja i metafory pomarańczy zdają się zawodzić. Wiadomo, że ważniejszy od kształtu przestrzeni, w którym zamknięte są wielowymiarowe kule, staje się ich rozmiar. Wiadomo też, niestety, że nie ma jednej skutecznej metody szukania optymalnego upakowania. Każdy wymiar wymaga osobnej. Oparcia trzeba szukać w rozmaitych skomplikowanych, słabo poznanych funkcjach pomocniczych. Tu właśnie Wiazowska okazała się bezkonkurencyjna.

Henry Cohn, matematyk z Microsoft Research i Massachusetts Institute of Technology, mówi, że Ukrainka sięga po rozwiązania, które są dla większości matematyków całkowicie nieoczywiste. „Odkrywa bardzo proste, naturalne, wspaniałe struktury, których istnienia nikt się nie spodziewał” – zachwycał się w magazynie naukowym „Quanta”.

Skoki oraz małe kroki

Tego, że urodzona sześć lat przed rozpadem Związku Radzieckiego Wiazowska wejdzie w bliskie związki z matematyką, można się było spodziewać. W dzieciństwie czytała powoli (choć później zaczytywała się w powieściach braci Strugackich), pisała chaotycznie, ale liczyła błyskawicznie. Z czasem równie szybko i sprawnie zaczęła się poruszać między dziedzinami wydawałoby się odległymi – algebrą i analizą matematyczną. Stąd, między innymi, jej skuteczność. – Jaki jest mój styl pracy? – zastanawia się dziś. – Małe kroki czy raczej skoki? Duże skoki są fajne, ale niebezpieczne. Można się przewrócić.

Z przyczyn tajemniczych dla samych matematyków nie wszystkie przestrzenie stawiają jednakowy opór. Nieco przyjaźniejsze dla badaczy maksymalnego upakowania kul wydawały się przestrzenie ośmio- i dwudziesto­czterowymiarowe. Czuli to, ale nie potrafili udowodnić. Czekali na nowego geniusza w rodzaju samouka Srinivasy Ramanujana. Aż pojawiła się Maryna Wiazowska. Też trochę jakby spoza systemu, bo z Ukrainy. Jej analizy i dowody porównywane są do najwspanialszych, przełomowych osiągnięć matematyki XIX w. Czasu, kiedy uczeni zaczęli rozwiązywać problemy niepoddające się analizie od setek lat.

W pierwszym przypadku (gdy wymiarów jest osiem) wraz ze współpracownikami Wiazowska udowodniła, że najefektywniejszym sposobem ułożenia kul jest tzw. sieć E8, w której upakowanie wynosi ok. 25 proc. To dużo jak na tego typu przestrzeń, bo wraz ze wzrostem liczby wymiarów rośnie liczba wielowymiarowych luk między wielowymiarowymi kulami. W przypadku ośmiu wymiarów stają się one na tyle duże, że mieszczą się w nich dodatkowe kule. Dokładnie, „na styk”.

W drugim przypadku (w 24 wymiarach) – jak dowiodła Wiazowska – najlepiej układać je w tzw. sieć Leecha. Wypełnienie wynosi wtedy ok. 0,019 proc. Niewiele, ale każda sfera styka się tam z blisko dwustoma tysiącami innych sfer (jak myśleć o takich zjawiskach, podpowiada Jerzy Tyszkiewicz, dyżurny matematyk pulsara – projektpulsar.pl).

– Sieci Leecha są obiektami ekstremalnie pięknymi. Ale wyobrażanie ich sobie jest niebezpieczne dla zdrowia psychicznego – wyjaśnia Wiazowska w wykładzie, który dała tydzień temu, podczas organizowanej przez Uniwersytet Warszawski konferencji String-Math. – Mówienie o tych obiektach zajęłoby mi cały semestr albo nawet dwa. A czasu miała jeszcze mniej niż planowano, bo pozytywny wynik testu na obecność popularnego obecnie wirusa sprawił, że spotkanie odbyło się w formie zdalnej. Pytania zadawaliśmy więc na youtubowym czacie.

Na przykład dotyczące kolejnej przestrzeni, w której uda się określić maksymalne upakowanie. – Gdybym miała typować, wskazałabym na czwarty wymiar. Ile lat minie, zanim znajdziemy odpowiedź? Może rok, może 100. Moja optymistyczna prognoza to czas od roku do 10 lat – stwierdziła Wiazowska konkretnie, głosem mocnym, niskim nie z choroby, a z natury.

Układanie abstrakcyjnych kul w wielowymiarowych przestrzeniach wydaje się czynnością skrajnie niepraktyczną. Ale matematyka niejeden już raz pokazała jeden z palców wszystkim tym, którzy uważają ją za dziedzinę oderwaną od rzeczywistości.

Przesyłanie sygnałów zaszumionymi kanałami stało się znacznie efektywniejsze dzięki odkryciom podobnym do tego, które było udziałem ukraińskiej matematyczki. Usprawniają one łączność radiową i światłowodową. To dzięki nim telefon komórkowy nie jest telefonem głuchym i mamy szansę zobaczyć, jak internetem rządzą kotki. To także za ich właśnie sprawą niewiarygodnie słabe sygnały z podróżujących poza Układem Słonecznym sond Voyager 1 i Voyager 2 po pokonaniu miliardów kilometrów przestrzeni kosmicznej wciąż dają się odczytać.

Ścieżka w dżungli

Maryna Wiazowska jest drugą kobietą wyróżnioną nagrodą, którą ustanowiono w 1936 r. dla uczczenia kanadyjskiego matematyka Johna Charlesa Fieldsa. Pierwszą była Maryam Mirzakhani – badaczka urodzona w Iranie, a w chwili otrzymania nagrody, w 2014 r., żyjąca w Stanach Zjednoczonych. Sześćdziesięciu dwóch pozostałych laureatów to mężczyźni.

„Nie mam żadnej recepty. To jak zgubić się w dżungli i próbować użyć całej wiedzy do wynalezienia nowych tri­cków. Przy odrobinie szczęścia może uda się znaleźć wyjście” – w ten sposób Mirzakhani opisywała proces poszukiwania rozwiązań problemów, których nikt jeszcze przed nią nie rozwiązał. Efekty były monumentalne. Wydeptując ścieżki przez las tropikalny, Iranka znalazła ukryte połączenia między topologią, geometrią i innymi dziedzinami matematyki. Rozkładała arkusze papieru na podłodze, godzinami rysowała wyobrażone struktury z takim zapamiętaniem, że jej mała córka zwykła wykrzykiwać: „O, mama znowu maluje!” (cytaty za magazynem „Quanta”).

Państwo, które opuściła w wieku dwudziestu paru lat, uważało ją za symbol mocy perskiej myśli naukowej. I poniekąd słusznie – przeszła publiczną ścieżkę edukacji – podobnie zresztą jak Maryna Wiazowska. Ale nie widziała siebie w kategoriach symbolicznych. Już mając status międzynarodowej sławy, równie chętnie wdawała się w rozmowy z innymi medalistami Fieldsa, jak i ze studentami pierwszego roku. Samą natomiast informację o otrzymaniu medalu – e-mail od Ingrid Daubechies, szefowej Międzynarodowej Unii Matematycznej – uznała za spam.

Przechodziła już wtedy chemioterapię. Guz piersi miał się wkrótce rozprzestrzenić po całym ciele. Była tak słaba, że podczas związanych z nagrodą uroczystości na każdym kroku towarzyszyły jej koleżanki. Sześć znakomitych matematyczek, z Daubechies na czele, broniło Mirzakhani przed ciekawością mediów i entuzjazmem przypadkowych rozmówców. Umarła 17 lipca 2017 r., w wieku 40 lat.

Właśnie – pisząc o medalu Fieldsa – czasem zapomina się dodać, że zgodnie z życzeniem fundatorów otrzymują go tylko osoby przed czterdziestką. Jednym z powodów niskiej reprezentacji kobiet może być fakt, że obniżają swoje szanse na wyróżnienie, decydując się na posiadanie dzieci. Poświęcają kilka lat na ich wychowanie i w wyścigu zwanym karierą zawodową zostają zwykle w tyle za mężczyznami. A regulamin nagrody jest ślepy na tę różnicę. Maryna Wiazowska ma dwuletnią córkę i trzynastoletniego syna. Ten ostatni pamięta, że kiedy rodzina mieszkała w Berlinie, a matka pracowała właśnie nad trudnym problemem, był ostatnim dzieckiem odbieranym z przedszkola.

Kwiaty z ogrodu matki

Ogłoszenie zdobywców medalu Fieldsa miało się odbyć podczas uroczystości otwarcia Międzynarodowego Kongresu Matematyków, największej imprezie tego typu. Osiem lat temu naukowcy zjechali do Seulu, cztery lata temu do Rio de Janeiro. W tym mieli spotkać się w Petersburgu. Ale zamiast przechadzać się nad Newą, werdykt komitetu omawiali nad rzeką Vantaa, przepływającą przez Helsinki. Międzynarodowa Unia Matematyczna zapewnia, że decyzja o wyróżnieniu Ukrainki zapadła jeszcze przed wybuchem wojny w jej ojczyźnie.

Wiazowska studiowała m.in. na Uniwersytecie im. Tarasa Szewczenki, ale od lat mieszka w Szwajcarii. Pracuje na EPFL (École Polytechnique Fédérale de Lausanne), jednej z najlepszych uczelni na świecie. Kieruje tamtejszą Katedrą Teorii Liczb. W marcu 2022 r. dołączyła do niej siostra z dziećmi. Reszta rodziny pozostała w Ukrainie. Także jej rodzice.

Matematyczka wspominała o nich podczas warszawskiego spotkania. Wykład poświęcony historii badań nad wielowymiarowymi przestrzeniami i własnych dociekań zamknęła w nietypowy sposób. – Między wojnami są chwile pokoju. Widzieliśmy tyle przerażających obrazów. Dziś pokazuję więc wam zdjęcia z ogrodu mojej matki. Kwiaty spod Kijowa.