Liczby pierwsze: detektywi na tropie granicy
Każda liczba pierwsza podzielna jest tylko przez 1 i samą siebie. Takie liczby to jakby „atomy” matematyki, powstające w wyniku rozkładu na czynniki pierwsze liczb złożonych (np. 12=2×2×3). Im liczby są większe, tym trudniej ustalać ich pierwszość, próbując je rozkładać. A jak szukać odpowiedzi na pytania w rodzaju: „Ile liczb pierwszych jest między 1 a 1000?”.
Punktem wyjścia może być klasyczne sito Eratostenesa. Ta starożytna metoda umożliwia systematyczną eliminację wielokrotności liczb pierwszych, a same liczby pozostają na sicie. Matematycy określają eliminowane wielokrotności jako „informację typu I”, dzięki której można przewidzieć, ile jest liczb pierwszych w danym zakresie. Ale ta informacja ma ograniczenia. „Czasem informacja typu I jest najlepszą, jaką można uzyskać, a mimo to nie udaje się wykryć ani jednej liczby pierwszej” – wyjaśnia współautor preprintu Kevin Ford, matematyk z University of Illinois w Urbana-Champaign.
Ford oraz matematyk z University of Oxford James Maynard opisują skuteczną metodę szukania liczb pierwszych w dużych zakresach poprzez możliwie dokładne szacowanie w nich ich liczby. Praca łączy dwa komplementarne podejścia: informacje typu I, dotyczące eliminowanych liczb (usuwanie wielokrotności 2, potem 3 itd.) oraz informacje typu II, uwzględniające liczby usuwane wielokrotnie (np. 6 jako wielokrotność 2 i 3).
Matematycy mogą regulować udział każdego typu informacji, aby uzyskać jak najdokładniejszy wynik – liczbę liczb pierwszych w danym zakresie. Staranne dostrajanie tych dwu „pokręteł” umożliwiło także odkrycie fundamentalnych ograniczeń – ścisłego matematycznego limitu, niepozwalającego na poprawę dokładności zliczania mimo dowolnie precyzyjnej regulacji, co wiąże się ze skomplikowanym rozkładem liczb pierwszych na osi liczbowej. Badacze porównują dokładność tych szacunków w przypadku zbioru liczb i „siły informacji” do wielkości oczek w sicie: jeśli są za małe, złapie się za dużo liczb; jeśli za duże, niektóre liczby pierwsze się prześlizgną. W pracy znajduje się „precyzyjna odpowiedź na pytanie o wystarczająco dobrą informację, zapewniającą ujawnianie liczb pierwszych” – mówi zajmująca się tymi liczbami matematyczka Kaisa Matomäki z University of Turku w Finlandii. „Zrozumienie ograniczeń podczas projektowania sita jest kluczowe dla opracowania kompletnej teorii liczb pierwszych” – uważa matematyk z Princeton University Peter Sarnak, ekspert w dziedzinie teorii sit liczb pierwszych. I dodaje: „Ustalenie tego, co jest niemożliwe, także wydaje się fundamentalne”.
Zdaniem Forda opisana metoda ułatwi badania niewyjaśnionych od dawna problemów. „Liczby pierwsze rozmieszczone są w bardzo tajemniczy sposób, więc uzasadnione są próby pozbawienia ich choćby odrobiny tej tajemniczości”.
Dziękujemy, że jesteś z nami. Pulsar dostarcza najciekawsze informacje naukowe i przybliża wyselekcjonowane badania naukowe. Jeśli korzystasz z publikowanych przez Pulsar materiałów, prosimy o powołanie się na nasz portal. Źródło: www.projektpulsar.pl.