Od congruum do drukarskiego błędu, czyli panopticum potęgowe

Wśród pierwszego miliona liczb naturalnych dodatnich jest ich zaledwie nieco ponad jeden promil, choć w liczbach bezwzględnych to sporo – dokładnie 1111. Chodzi o potęgi, oczywiście co najmniej drugie, czyli kwadraty, których do miliona jest równo tysiąc. Które potęgi składają się na 111 pozostałych? To pierwsze proste pytanie związane z potęgowym tematem.

Potęgą z największym wykładnikiem w podanym zakresie jest 2¹⁹=524 288, która na pewno należy do szukanych 111. Natomiast nie znajdą się wśród nich żadne potęgi z parzystym wykładnikiem większym od 2, bo są już objęte kwadratami. Kwalifikują się natomiast sześciany, których jest 98 (od 2³=8 do 99³=970299) – ale nie wszystkie; odpadną te, które są równocześnie kwadratami, czyli osiem szóstych potęg (od 2⁶=64 do 9⁶=531 441) – pozostanie zatem 90 sześcianów. Dalsza eliminacja kojarzy się z sitem Eratostenesa, bowiem uwzględniane są tylko wykładniki potęg, będące liczbami pierwszymi. Z 14 piątych potęg (od 2⁵=32 do 15⁵=759375) po odjęciu dwóch kwadratów (4⁵ i 9⁵) i jednego sześcianu (8⁵) zostanie 11. Z sześciu siódmych potęg odpadnie tylko jedna (4⁷), więc pozostanie pięć. Komplet 111 potęg niekwadratów dopełniają dwie potęgi jedenaste oraz po jednej trzynastej, siedemnastej i wyżej wspomnianej dziewiętnastej.

Skoro 1111 potęg zajmuje milionową trasę, to średnia odległość między dwiema kolejnymi wynosi 900. W pierwszej chwili tak duży dystans może być zaskoczeniem, zwłaszcza jeśli uwzględnić „gęsty” początek ciągu: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400 … . Warto jednak pamiętać, że w ciągu zdecydowanie dominują kwadraty, a różnice między kolejnymi kwadratami są kolejnymi liczbami nieparzystymi. Różnica między 999² a milionem, czyli 1000², wynosi 1999 i jest największą różnicą między kolejnymi potęgami w zakresie do miliona, bo między tymi kwadratami nie ma innej potęgi. Nie ma jej zresztą także między kilkunastoma poprzednimi; dopiero między 985² a 986² pojawia się 99³. W ciągu potęg przed milionem mamy więc 14 odstępów między kolejnymi wyrazami, z których każdy jest prawie dwutysięcznikiem.

Różnice między kolejnymi wyrazami w ciągu potęg są tematem wielu publikacji dotyczących teorii liczb. Ciekawym ogólnym wnioskiem pojawiającym się w kilku publikacjach jest tzw. hipoteza Pillaiego, indyjskiego matematyka (1901–1950), zgodnie z którą każda różnica między kolejnymi potęgami większymi od zera występuje skończoną liczbę razy. Na przykład różnica równa 1 występuje tylko raz – między 8 a 9; różnica 2 także raz – między 25 a 27; różnica 3 dwukrotnie – między 1 a 4 oraz między 125 a 128. Już jednak różnica równa 7 pojawia się pięć razy: 1–8, 9–16, 25–32, 121–128, 32761–32768. Choć żadna z prawdopodobnie nieskończonego ciągu różnic – zaczynającego się tak: 6, 14, 34, 42, 50, 58, 62, 66, 70, … – nigdzie między kolejnymi potęgami nie występuje.

W ciągu kwadratów łatwo odszukać trzy wyrazy tworzące ciąg arytmetyczny. Takich tercetów jest nieskończenie wiele, począwszy od pierwszego z najmniejszą różnicą między wyrazami – [1, 25, 49]. Z innych przykładów, zaczynających się od kolejnych kwadratów ([4, 100, 196], [9, 225, 441], [16, 400, 784], [25, 625, 1225]) wynika, że różnice między wyrazami, zwane congruum, są zawsze wielokrotnością 24 (ale nie każda wielokrotność 24 jest congruum). Tercety te można oczywiście „wyjmować” także z ciągu potęg, skoro jest on zdominowany przez wszystkie kwadraty. O ile jednak nie sposób utworzyć z kwadratów ciągu arytmetycznego dłuższego niż trójwyrazowy, co udowodnił Euler, o tyle przy wykorzystaniu potęg nieograniczonych do kwadratów ciągi cztero- i więcejwyrazowe są osiągalne. Wyrazy takich ciągów są jednak gigantami – najmniejsze tworzą ciąg 4-wyrazowy o różnicy 127 896: [73², 365², 511², 73³].

Prawdopodobnie każdy n-wyrazowy (n>3) arytmetyczny ciąg potęg jest „dzieckiem” jakiegoś (n–1)-wyrazowego arytmetycznego ciągu potęg. Powstaje przez dopisanie doń n-tego wyrazu równego sumie ostatniego wyrazu „rodzica” i różnicy ciągu (49+24=73, gdy „rodzicem” jest ciąg 1, 25, 49), a następnie pomnożeniu wszystkich wyrazów przez dopisany wyraz podniesiony do k-tej potęgi równej najmniejszej wielokrotności wykładników wyrazów „rodzica” (tutaj k=2, czyli wyrazy mnożone są przez 73²). Rezultatem jest „dziecko” – w tym przypadku zaprezentowane wyżej. O tym, że wyrazy z reguły istotnie są gigantyczne, można przekonać się, asystując przy narodzinach 5-wyrazowego „wnuka” albo 4-wyrazowego potomka, gdy tercet-protoplasta zaczyna się od sześcianu, np. [8, 36, 64] (tu k=6, a to prowadzi do liczb 14-cyfrowych).

Potęgom można stawiać warunki. Oczywiście takie, których spełnienie jest problematyczne, czyli wymaga gimnastyki giętkiego umysłu i wytrwałości, aby dowieść, że warunek może lub nie może być spełniony. Zwykle warunki mają formę pytań, a pierwsze brzmi tak: czy potęga może być iloczynem kolejnych liczb naturalnych n>0? Pierwsze przymiarki, polegające na mnożeniu dwóch, trzech i więcej liczb sugerują negatywną odpowiedź. Podobnie podpowiada intuicja. I słusznie. Uwzględniający każdą liczbę czynników dowód, że to niemożliwe, autorstwa Erdösa i Selfridge’a, jest zbyt długi i skomplikowany, aby go tu przytaczać, natomiast elementarne i eleganckie są dowody obsługujące konkretną niewielką liczbę czynników. Na przykład trzy, czyli sytuację przedstawioną wzorem: (n–1)×n×(n+1)=u^k. Ponieważ n jest liczbą względnie pierwszą z (n–1) i (n+1), czyli nie ma z nimi wspólnych dzielników, więc n=r^k, zaś (n–1)×(n+1)=n²–1=r^2k–1=s^k. Stąd r^2k–s^k=1, ale to niemożliwe, bo różnica między dwiema potęgami, z których większa jest parzysta, nie może być równa 1 (wynika to z opublikowanego w roku 2002 twierdzenia Mihăilescu).

Bliźniacze drugie pytanie-warunek mogłoby brzmieć: czy potęga może być sumą kolejnych liczb naturalnych? Ponieważ jednak nietrudno sprawdzić, że z prawie każdą potęgą można dokonać takiej operacji, a z wieloma nawet na kilka sposobów (np. 3³=27=13+14=8+9+10=2+3+4+5+6+7), zatem sens ma odwrócenie pytania: których potęg nie da się przedstawić w postaci sumy liczb naturalnych? Aby odpowiedzieć, wystarczy zapisać dodawanie w ogólnej postaci: n+(n+1)+…+(n+k)=(k+1)(2n+k)/2. W iloczynie po prawej stronie k może być liczbą parzystą lub nieparzystą, ale niezależnie od tego, jakie będzie, zawsze jeden z czynników – (k+1) lub (2n+k) – będzie parzysty, a drugi nieparzysty. Jest tylko jeden rodzaj liczb, który nie ma nieparzystego dzielnika większego od 1 – to potęgi dwójki. Zatem żadnej potęgi dwójki nie da się przedstawić w postaci sumy kolejnych liczb, a każda inna potęga podlega takiej faktoryzacji.

Trzecie problemowe pytanie dotyczy bardziej konkretnej sytuacji: czy potęga może składać się z jednakowych cyfr (pomijamy jednocyfrowe)? Fakt, że zapewne nikt sobie nie przypomina, aby z taką potęgą miał do czynienia, to oczywiście za mało. Niezbędny jest dowód. Coś w rodzaju poszlaki mogą stanowić potęgi bliskie ideału: 1444 (38²), 7776 (6⁵), ale raczej nie te ze sznureczkiem zer poprzedzonych jedynką. Choć im dłuższa liczba, tym mniejsza szansa na to, że będą ją tworzyć jednakowe cyfry. Liczbę złożoną z takich samych cyfr można przedstawić w postaci iloczynu a×111…1. Zadanie sprowadza się więc do ustalenia, czy równanie a×111…1=b^k ma rozwiązanie dla 1≤a≤9 i k>1. Przeanalizowanie równania dla konkretnych wartości a i stwierdzenie braku rozwiązań (po doprowadzaniu do sprzeczności) nie jest trudne, zwłaszcza jeśli uwzględnić fakt, że w roku 1999 trzej matematycy francuscy (Y. Bugeaud, G. Harnot, M. Mignotte) udowodnili, że żadna liczba złożona z samych jedynek nie może być potęgą.

Odwrotne pytanie: czy potęga może składać się z różnych cyfr? – wydaje się mało sensowne, bo jedno- i dwucyfrowe są tylko takie. Na uwagę zasługuje natomiast udział różnocyfrowych potęg wśród wszystkich n-cyfrowych dla n>2. Udział ten szybko maleje. Do miliona takich potęg jest 247, ale to oczywiście nie wszystkie, bo teoretycznie najdłuższe mogą być 10-cyfrowe, zatem wszystkich takich potęg (do dziesięciu miliardów) jest 645, w tym 86 10-cyfrowych – wszystkie są kwadratami.

Typowo rozrywkowe zadanie związane z potęgami zaproponował w roku 1912 na łamach londyńskiego miesięcznika „The Strand Magazine” Henry Dudeney:

„W pewnym artykule drukarz miał złożyć mnożenie 5⁴×2³, czyli 625*8, co równa się 5000. Niestety, pomylił się – zmienił wykładniki w zwykłe cyfry i pominął znak mnożenia, składając tym samym liczbę 5423. Jakie jednocyfrowe liczby powinny występować w powyższym działaniu, aby mimo identycznej pomyłki drukarza czysto rachunkowego błędu nie było?”

Czytelnik przed ponad wiekiem otrzymał zatem propozycję uporania się z kryptarytmem: c^d×e^f=cdef – i to z nietypowym dodatkiem: różnym literom mogą odpowiadać jednakowe cyfry. Bez wsparcia komputerowego to zabawa benedyktyńska – praktycznie zadanie nie do ruszenia, choć najwytrwalsi mogą próbować sprytnymi sposobami dotrzeć do celu. Nic więc dziwnego, że w klasycznym zbiorze rozrywek matematycznych Lilavati Szczepana Jeleńskiego autor obok zacytowanego zadania podaje od razu rozwiązanie jako liczbowe kuriozum – błąd drukarski, który nie będzie błędem, ponieważ 2⁵×9²=2592. To jedyne rozwiązanie kryptarytmu o podanym schemacie (iloczyn dwóch jednocyfrowych liczb z jednocyfrowymi wykładnikami), ale w erze komputerów liczbomaniacy nie oparli się pokusie poszukiwania podobnych osobliwości. Oto kilka najkrótszych:

3⁴×425=34 425

3⁵×7×21=35 721

31²×325=312 325

3⁴×4250=344 250

3⁵×7×210=357 210

49²×205=492 205

Charakterystyczne, że nie znaleziono żadnego „błędu”, w którym wszystkie czynniki byłyby – jak w pierwowzorze – potęgami; zawsze przynajmniej jeden jest liczbą bez wykładnika. Pojawiły się też przykłady z sumowaniem i odejmowaniem, zaczynające się od dwóch krótkich i eleganckich: 7+3⁶=736 oraz 2+50²=2502. Dotąd nie odkryto okazu, w którym występowałoby wszystkie pięć dozwolonych działań. W najkrótszym z najbliższych ideału brakuje dzielenia: 1×5⁶+1–8=15 618. Poszukiwania trwają.

Zadania

1. Jaką cyfrą kończy się liczba, która jest wynikiem potęgowania 2023²⁰²³?

2. Ze zbioru liczb od 1 do 20 należy wybrać różne liczby tworzące podzbiór, w którym żadna liczba ani żadna suma liczb nie będzie potęgą, a ponadto spełnione będą dwa warunki:

a) liczb powinno być jak najwięcej;

b) przy spełnionym warunku (a) suma wybranych liczb powinna być najmniejsza.

Przykład: gdyby wybierać ze zbioru od 1 do 10, to wymagany podzbiór składałby się najwyżej z trzech liczb, a możliwości wyboru byłoby pięć: {2, 3, 10}, (2, 5, 10}, {3, 7, 10}, {5, 6, 7}, {5, 7, 10}. Ostatecznym rozwiązaniem z najmniejszą sumą (15) byłby pierwszy podzbiór.

3. To zadanie, oparte na klasycznej grze mastermind, polega na znalezieniu 5-cyfrowej liczby X złożonej z różnych cyfr na postawie czterech podanych niżej liczb i zgodności każdej z nich z liczbą X:

28 043

34 975

73 691

56 324

W każdej z tych czterech liczb dokładnie dwie cyfry są takie same, jak w liczbie X – jedna z nich znajduje się na tym samym kolejnym miejscu, a druga na innym miejscu niż w liczbie X. I dodatkowa kluczowa informacja: liczba X jest potęgą.

4. 288 i 289 to para najmniejszych kolejnych trzycyfrowych liczb, z których każda albo jest potęgą liczby pierwszej, albo iloczynem potęg liczb pierwszych (wykładniki k>1): 288=2⁵×3², 289=17². Jaka inna, większa para kolejnych trzycyfrowych liczb ma taką samą własność? Podpowiedź: tym razem żadna liczba w parze nie jest potęgą; obie liczby są iloczynami dwóch potęg liczb pierwszych, z których trzy są kwadratami.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 kwietnia 2023 roku pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 04/23. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Woody’ego Allena Zero grawitacji ufundowaną przez wydawnictwo REBIS. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie

www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru lutowego

1. Grobla zajmuje siedem pól na przekątnych diagramu. Pełne rozwiązanie na rys. 1.

2. Na przekątnych diagramu jest 12 białych kółek i pięć czarnych. Pełne rozwiązanie na rys. 2.

3. Pięć lagun jest bez cyfry (w tym trzy 1-kratkowe i dwie 2-kratkowe). Pełne rozwiązanie na rys. 3.

4. Układ tetromin i pentomin (z dokładnością do odbić i obrotów) – na rys. 4.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Neila Bradbyry’ego Smak trucizny, ufundowaną przez wydawnictwo REBIS otrzymują: Daniel Kłobuszewski i Aleksander Urban z Warszawy, Martyna Kolaczek z Olsztyna, Dariusz Pączkiewicz z Ustanowa i Magda Rolińska z Łodzi.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”