Trzy-po-trzy, czyli 9 cyfr do 9 pól

Pytanie pierwsze: ile jest całkowicie różnych sposobów rozmieszczenia w polach diagramu 3×3 dziewięciu różnych cyfr – od 1 do 9 (rys. 1)? „Całkowicie różnych” oznacza „z dokładnością do obrotów i odbić lustrzanych”, czyli dwa układy cyfr, z których jeden powstaje w wyniku obrotu lub/i lustrzanego odbicia drugiego – uważamy za jednakowe.

Pytanie jest proste; wiąże się z podstawami kombinatoryki. Najpierw pomijamy „całkowicie różne” i obliczamy wszystkie sposoby, czyli permutacje, których jest 9!=362 880. Wynik dzielimy przez 8, bo każdy układ cyfr obejmuje osiem układów „pokrewnych” otrzymanych w wyniku obrotów lub/i odbić. Odpowiedzią jest więc 45 360.

Pytanie drugie: w ilu z tych ponad 45 tys. układów suma trzech cyfr* w każdym z sześciu rzędów – w trzech wierszach i trzech kolumnach – jest jednakowa? Sumą tą jest oczywiście 15 (1/3 sumy cyfr od 1 do 9, czyli 45), a tercetów z różnych cyfr z taką sumą jest osiem: 1–5–9, 1–6–8, 2–4–9, 2–5–8, 2–6–7, 3–4–8, 3–5–7, 4–5–6.

Zatem zarówno trzy wiersze diagramu, jak i trzy kolumny powinny być TERCETEM takich tercetów złożonym z dziewięciu różnych cyfr. Takie TERCETY można utworzyć dwa, choć oczywiście kolejność cyfr może być w każdym z nich różna:

1–5–9 1–6–8

2–6–7 2–4–9

3–4–8 3–5–7

Jeden TERCET powinien tworzyć wiersze, drugi kolumny.

Cyfra w środku diagramu jednoznacznie wyznacza układ cyfr w całym diagramie (z dokładnością do obrotów i odbić), zatem całkowicie różnych układów powstanie dziewięć (rys. 2).

Środkowy diagram na rys. 2 jest unikatem – to jedyny kwadrat magiczny 3×3 (suma cyfr na obu przekątnych także równa jest 15); pozostałe diagramy to kwadraty półmagiczne (właściwie 3/4-magiczne, bo magiczna suma jest w sześciu z ośmiu możliwych rzędów). Z kolei po zlikwidowaniu odstępów między diagramami na rys. 2 powstanie diagram 9×9, który mógłby być rozwiązaniem sudoku; rozwiązaniem także osobliwym – ze względu na całkowicie różne półmagiczne bloki 3×3. Właściwie każde sudoku stanowi zlepek odpowiednio dobranych dziewięciu kwadratów 3×3 wypełnionych dziewięcioma cyframi od 1 do 9 i jest to zapewne najbardziej znany przykład obecności takich kwadratów w łamigłówkach. Okazuje się jednak, że ich pokaźna, kilkudziesięciotysięczna grupa sprzyja temu, że same te kwadraty, zwykle po niewielkiej modyfikacji, mogą stać się atrakcyjnymi, małymi, ale nie zawsze prostymi łamigłówkami, a czasem nawet problemami nieco większego kalibru, jak choćby opisane wyżej szukanie trzech TERCETÓW. Są także ciekawe jako efekty pomysłowości ich autorów.

Ogólne określenie tego typu zadań jako „9 cyfr do 9 pól” jest równocześnie wskazaniem, o co w nich chodzi. Nieco różne są tylko drogi do celu w konkretnych rodzajach zadań.

Najprostsze „podpowiedzi” polegają na określaniu zależności między cyframi we wskazanych polach. W zadaniach na rys. 3 podane są przykłady takich zależności, stanowiących klucz do rozwiązania. Liczby w kółkach oznaczają sumy lub iloczyny (co konkretnie, należy ustalić samemu) cyfr w dwóch lub czterech polach, na których granicy goszczą kółka. Podobnie jest w polach jednakowego koloru – pod diagramem podana jest suma lub iloczyn cyfr w polach w danym kolorze. Znak > lub < wskazuje na zależność między cyframi w sąsiednich polach (większa>mniejsza); jeśli w znaku jest kropka, to liczby różnią się dokładnie o 1 (obecność kropki jest obowiązkowa, jeśli jest możliwa). W drugim zadaniu na rys. 3 jest jeszcze dodatkowy warunek: w żadnych dwu sąsiednich polach (mających wspólny bok) nie mogą znaleźć się kolejne cyfry, czyli różniące się o 1.

Teoretycznie rozwiązywanie takich zadań można sprowadzić do zmagań z układem równań, ale to sposób żmudny i schematyczny (chyba że do zabawy włączy się komputer). Natomiast „godne”, atrakcyjne i przyjemne jest „gonienie króliczka”, polegające na analizowaniu zależności i wyciąganiu wniosków, prowadzących krok po kroku do umiejscawiania konkretnych liczb.

Na przykład w trzecim zadaniu z rys. 3 punktem wyjścia jest zauważenie, że na polu f (rys. 4a) mogą być tylko 6 (gdy żółta dziesiątka jest sumą) lub 8 (gdy jest iloczynem – 1×2×5). Dla f=6 są dwie możliwości wypełnienia pól b-c-e-f, a dla f=8 trzy (rys. 4b). Uzupełnianie dla każdej z tych możliwości cyframi pól h oraz i prowadzi do wyeliminowania – ze względu na powtarzające się cyfry – czterech możliwości. Pozostanie jedna (która?), a dalsze wypełnianie diagramu jest już formalnością.

Przed niespełna wiekiem w Anglii pojawił się najpopularniejszy rodzaj łamigłówki z dziewięcioma cyframi w dziewięciu polach. Inspirację stanowiła propozycja zadania polegającego na modyfikacji kwadratu półmagicznego. Chodziło o to, aby w jednym rzędzie wynik 15 był nie sumą trzech cyfr, ale iloczynem. Taki iloczyn jest tylko jeden: 1×3×5. Warunek okazał się zbyt surowy – zadanie nie miało rozwiązania – więc został ekstremalnie złagodzony: zezwolono na korzystanie z dowolnych kombinacji działań w wierszach i kolumnach, byleby wynik każdego był równy 15.

Jeden z rezultatów takiej wolności, czyli różnodziałaniowy kwadrat półmagiczny, przedstawiony jest na rys. 5. Stąd był już tylko krok do łamigłówki z dowolnymi wynikami działań, której nadano formę taką, jak w przykładzie na rys. 6 (wyniki w tym przykładzie są dowolne, ale nie przypadkowe: u dołu jest miesiąc i rok pierwszego „Umysłu giętkiego” – stąd 5 zapisane jako 05, a z prawej strony bieżący miesiąc i rok).

Łamigłówka polega oczywiście na wpisaniu w puste kratki cyfr od 1 do 9 tak, aby działania w trzech wierszach i trzech kolumnach były poprawne. Przyjęta jest w niej także zasada, że działania w wierszach i kolumnach należy wykonywać kolejno, bez uwzględniania pierwszeństwa mnożenia i dzielenia (jeśli w diagramie nie pojawiają się określające pierwszeństwo nawiasy). W przykładzie na rys. 6 dotyczy to trzeciej kolumny – najpierw wykonywane jest dodawanie, a potem dzielenie. Nazwa zadania bywa różna. W języku angielskim zwykle Cross-Math, po niemiecku Rechengitter, w Polsce krzyżówka działań lub trzy-po-trzy.

Dowolność wyników w krzyżówce działań ograniczona jest, rzecz jasna, ich zakresem. Wynik nie może być większy niż 504 (7×8×9), choć w praktyce bywa najwyżej dwucyfrowy. Ciekawe, że wykluczone są także niektóre układy wszystkich sześciu wyników. Spektakularnym przykładem jest niemożność uzyskania sześciu zer. Może ich być najwyżej pięć, jak w przykładzie na rys. 7.

Dowód zaczyna się od zauważenia, że w diagramie nie mogą występować tylko dodawania i odejmowania, bo wtedy sumy cyfr z plusami i minusami musiałyby być równe, a to niemożliwe, skoro suma cyfr od 1 do 9 jest nieparzysta (45). Trzeba więc zastosować dzielenie lub mnożenie, ale możliwości są tylko dwie: jedna z udziałem 2, 3 i 6, druga – 2, 4 i 8. Dwójka jest wspólna dla obu działań, zatem jedno musi się znaleźć w wierszu, a drugie w kolumnie. Szkopuł w tym, że po użyciu tego drugiego tercetu, np. w postaci 2×4–8=0, pozostaną do dyspozycji cyfry, których suma jest nieparzysta (31), a więc korzystając tylko z plusów i minusów, tu także nie uda się – podobnie jak dla 45 – utworzyć zerowych działań.

Warto ponownie podkreślić, że choć trzy-po-trzy można rozwiązywać z wykorzystaniem programu komputerowego (po zapisaniu układu sześciu równań z dziewięcioma niewiadomymi), jednak nie chodzi wszak tylko o to, by złapać króliczka, ale także by go przyjemnie i sprytnie gonić. Uwaga ta dotyczy zresztą większości rozrywek matematycznych, którym nie ma sensu ujmować uroku, wspierając się komputerem (chyba że decydujemy się zastąpić przyjemność rozwiązywania przyjemnością programowania albo z jakichś innych względów programowanie jest niezbędne).

Ciekawy i oryginalny rodzaj dziewięciocyfrowej łamigłówki wiąże się z iloczynami. Zasad zabawy nietrudno się domyślić z rys. 8. Między każdą parą białych kratek, w które należy wpisać cyfry, jest jedno lub dwa wąskie pola, w których powinien pojawić się iloczyn tych dwóch cyfr. Klucz do rozwiązania stanowi kilka ujawnionych cyfr (zwykle cztery), należących do iloczynów. Informacja ta wydaje się zbyt skąpa, ale w praktyce jest wystarczająca, jeśli w trakcie rozwiązywania uważnie analizuje się wszystkie możliwości i stopniowo uzupełnia braki.

Wpisywanie 9 cyfr do 9 pól bywa też realizowane w bardziej „spoisty” sposób. Jeśli bowiem przyjąć, że cyfry tworzą w rzędach trzy 3-cyfrowe liczby, to pojawi się zadanie znane od połowy XIX wieku: ułóż takie dodawanie dwóch liczb 3-cyfrowych z 3-cyfrową sumą, aby występowało w nim dziewięć różnych cyfr – od 1 do 9. W wersji z diagramem 3×3 chodzi o takie rozmieszczenie cyfr, aby liczba w dolnym wierszu była sumą dwóch liczb w wierszach nad nią. Skonstruować jeden taki układ nietrudno, bo wszystkich jest 336; przykład z najmniejszą sumą (459) na rys. 9a. Ten i każdy inny przykład należy do grupy ośmiu dodawań bliźniaczych, powstających w wyniku zamiany miejscami cyfr umieszczonych w składnikach w tej samej kolumnie, więc całkiem różne dodawania są 42. Ogólna analiza takiego dodawania prowadzi do ciekawych wniosków. Korzystając z oznaczeń na rys. 9b, można sformułować następujące zależności:

a+d<10

b+e<10 lub b+e=10 lub b+e>10

c+f<10 lub c+f>10

Sumy cyfr we wszystkich trzech słupkach składników (a+d, b+e, c+f) nie mogą być mniejsze od 10, bo wtedy suma cyfr składników musiałaby być równa sumie cyfr sumy (g+h+i), a to niemożliwe, skoro suma wszystkich cyfr jest nieparzysta (45). Sumy cyfr b+e i c+f nie mogą być równocześnie większe od 10, bo wtedy różnica między sumą cyfr składników a sumą cyfr sumy wynosi 18 (z sum cyfr w słupkach „zabierane” są dwie dziesiątki, a przybywają dwie „przenoszone w pamięci” jedynki), zaś 45–18=27 to też liczba nieparzysta, więc jej połowa nie może być sumą cyfr sumy. Pozostaje jedyna możliwość: suma cyfr tylko w jednym słupku składników – drugim lub trzecim – jest większa od 10, a różnica między sumą cyfr składników a sumą cyfr sumy wynosi 9, czyli suma cyfr w dolnym wierszu diagramu musi być równa (45–9):2=18.

To dość zaskakujący, trudny do przewidzenia wniosek.

Są 42 3-cyfrowe liczby złożone z różnych cyfr, których suma wynosi 18 (rys. 10), czyli dokładnie tyle, ile całkiem różnych dodawań. Jednak to przypadkowa zbieżność, nie oznacza bowiem, że dla każdej z liczb istnieje jedno dodawanie. Przeciwnie, sytuacja jest dość złożona. Osiem liczb na żółtym tle w ogóle nie wchodzi w grę, gdyż g nie może być mniejsze od 4, co łatwo udowodnić. Sumami nie mogą być także trzy liczby na różowym tle, ale tu podstawa dyskwalifikacji jest bardziej zawiła. 31 pozostałych liczb można podzielić na trzy grupy:

– dające jedno rozwiązanie (szare tło), jak 459 na rys. 9a (dodawania bliźniacze pomijamy);

– dające dwa rozwiązania, różniące się kolejnością cyfr w składnikach (zielone tło), jak na przykład 567 (rys. 11);

– dające dwa rozwiązania (niebieskie tło), różniące się rozmieszczeniem cyfr między składnikami, ale innym niż w dodawaniach bliźniaczych, na przykład 819 (rys. 12).

Ze wspomnianym wyżej jedynym kwadratem magicznym 3×3 wiąże się temat dotyczący jego „oponentów”, czyli tzw. heterokwadratów, w których wszystkie sumy liczb w ośmiu rzędach (trzy wiersze, trzy kolumny i dwie przekątne) są różne. Utworzenie takiego kwadratu nie jest zbyt trudne. Właściwie wystarczy rozmieścić cyfry w dowolny sposób, a potem – jeśli sumy nie będą różne – spróbować niektóre cyfry odpowiednio poprzestawiać.

Jeśli np. cyfry wpiszemy do diagramu tak, jak na rys. 13a – 1 w środku, a pozostałe kolejno dookoła, zaczynając od rogu – to pojawią się dwie powtórki – 9 i 15. Obie można zlikwidować, zamieniając miejscami 1 i 4 oraz 5 i 9 (rys. 13b). Natomiast po spiralnym wpisaniu liczb (rys. 13c) zmagania z powtórkami w ogóle nie będą konieczne. Łatwość układania heterokwadratów wynika m.in. z ich pokaźnej liczby – wszystkich całkowicie różnych jest aż 3120. Niektóre z nich mają dodatkowe szczególne cechy. Na przykład ten z rys. 13c jest jedynym, którego kolejne liczby wyznaczają trasę wieży szachowej (poza odwrotną kolejnością cyfr na spirali oraz obrotami i odbiciami lustrzanymi).

Amatorów liczbowych osobliwości kusiło znalezienie takiego okazu, w którym osiem różnych sum będzie liczbami kolejnymi, a więc tworzącymi fragment ciągu liczb naturalnych, np. od 10 do 17. Komputery poszły w ruch, ale najlepszym rezultatem okazały się heterokwadraty z siedmioma kolejnymi sumami, na przykład od 10 do 16 (rys. 14). Z ośmioma żadnego nie znaleziono. Na ujawnienie czeka też dowód, że takiej ósemki nie sposób utworzyć.

Zadania

1. Trzy-po-trzy na rys. 15 nie ma rozwiązania. Aby miało, trzeba je poprawić. Błędy polegają na tym, że występujące w nim znaki mnożenia „obróciły się” o 45 stopni, tworząc plusy. Jakie jest rozwiązanie, czyli układ dziewięciu cyfr w pustych kratkach po poprawieniu błędów?

2. Układ cyfr w diagramie na rys. 11a jest jedynym spełniającym dwa warunki:

a) 3-cyfrowa liczba w dolnym wierszu jest sumą dwóch liczb w pozostałych wierszach;

b) pola diagramu może obejść wieżą szachową w kolejności umieszczonych w tych polach cyfr, przemieszczając się w każdym ruchu o jedną kratkę (gdyby zamienić miejscami 8 i 9 ruch z 7 na 8 byłby dwukratkowy).

Zadanie polega na znalezieniu takiego rozmieszczenia cyfr w diagramie 3×3, który będzie spełniał warunek (a) oraz następujący drugi warunek:

b’) powinno być możliwe obejście wszystkich pól hetmanem szachowym w kolejności umieszczonych w tych polach cyfr.

Ponadto są dwa ograniczenia:

c) przy ruchu hetmanem o dwa pola – z pola x na y – hetman nie może przechodzić przez pole wcześniej zaliczone, czyli z cyfrą mniejszą niż x;

d) jako rozwiązanie wykluczamy „wieżowe” układy z rys. 11 i ich warianty bliźniacze, czyli układy z sumą 567.

Zadanie ma 3 rozwiązania. Jedno z nich można utworzyć, zamieniając miejscami cyfry 1 i 2 na rys. 9. Wystarczy znaleźć jedno z dwóch pozostałych.

3. Cyfry od 1 do 9 wpisane do kwadratu 3×3 tworzą w nim sześć 3-cyfrowych liczb – trzy w wierszach i trzy w kolumnach. Zadanie polega na takim rozmieszczeniu cyfr w kwadracie, aby umieszczone obok wierszy i pod kolumnami liczby były dzielnikami liczb, które pojawią się w odpowiadających im poziomych i pionowych rzędach (rys. 16). Gwoli jasności obok zadania zamieszczony jest przykład.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 lipca 2023 r. pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 07/23. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Kai-Fu Lee, Chen Qiufan Sztuczna Inteligencja 2041. 10 wizji przyszłości ufundowaną przez wydawnictwo Media Rodzina. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

* W występujących w tym artykule określeniach dotyczących działań na cyfrach słowo „cyfra” jest synonimem „liczby jednocyfrowej”, a więc określa wartość, a nie tylko znak.

***

Rozwiązania zadań z numeru majowego

1. Na diagramie 8×8 wystarczy umieścić 11 najmniejszych elek, aby żadnej nie można było dołożyć (rys. 17).

2. W układzie (rys. 18) jest 6 elek 3-kwadratowych i 3 elki złożone z więcej niż 4 kwadratów.

3. 8 elek nie zawiera zielonego kółka (rys. 19).

4. Układ elek, w którym żółte pola tworzą 3 elki różnej wielkości – na rys. 20.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Odpowiedzi na wszystkie pytania Roba Orchada, Christiana Tate'a i Marcusa Webba, ufundowaną przez Wydawnictwo REBIS, otrzymują: Elzbieta Jakubowska, Daniel Kłobuszewski i Grażyna Paluch z Warszawy, Andrzej Pańka z Brześcia Kujawskiego i Krzysztof Szeruga z Wrocławia.

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”