Sprawy zegarodzielne, czyli liniowanie tarcz

W niektórych podręcznikach do matematyki oraz w zbiorach zadań dla trzeciej lub czwartej klasy szkoły podstawowej pojawia się zadanie: Podziel tarczę zegara (rys. 1a) na trzy części w taki sposób, aby suma liczb w każdej części była taka sama. Taką łamigłówką liczbową zabawiano się już pod koniec XVIII wieku, choć dawniej była mała różnica formalna – kamienny cyferblat zagadkowo pękał i należało oznaczyć linie pęknięć. Rozwiązywanie zaczyna się oczywiście od dodania wszystkich liczb i podzielenia sumy (78) przez 3, co daje sumę przypadającą na każdą część (26), a stąd już blisko do zunifikowanego przed wiekami, niemal standardowego podziału (rys. 1b).

Czy rozwiązanie na rys. 1b jest istotnie jedynym? Tak, ale nie wtedy, gdy tekst zadania brzmi dokładnie tak, jak wyżej, co często się zdarza także w materiałach edukacyjnych – wówczas bowiem rozwiązania są… 102. Tyle jest bowiem sposobów podziału zbioru liczb od 1 do 12 na trzy podzbiory o jednakowej sumie równej 26. I na tyle sposobów można podzielić tarczę zegara, jeśli przyjąć – co zresztą jest zgodne z rzeczywistością – że cyfry nie są „przyklejone” do brzegu tarczy, czyli między nimi a brzegiem da się poprowadzić linie dzielące. Na rys. 1c znajduje się przykład takiego „zakręconego” podziału (1+4+5+7+9=2+6+8+10=3+11+12=26).

Warto przy okazji zauważyć, że dzielenie na części, zawierające określone liczby, równoznaczne jest z łączeniem tych liczb nieprzecinającymi się liniami. Podziałowi z rys. 1c odpowiada więc układ linii łączących liczby na rys. 1d.

Aby rozwiązanie było tylko jedno – takie, jak na rys. 1b – należy tekst zadania uzupełnić warunkiem: dzielić wolno tylko wzdłuż linii prostych. Czasem podział zastępowany jest cięciem, które zwykle kojarzy się z krojeniem ostrym narzędziem po linii prostej, ale trudno to uznać za sformułowanie wystarczająco precyzyjne.

Trzy zegarowe części z jednakową sumą to liczba optymalna, bo mogą być także dwie z sumą po 39 lub sześć z sumą po 13 – i takie liczby części również pojawiają się w szkolnych zadaniach.

Dla sześciu części wymóg prostych linii dzielących (w praktyce wygodniejsze są łuki) – aby było jedno rozwiązanie – można pominąć, bo jest tylko jeden podział zbioru tuzina początkowych liczb naturalnych na sześć podzbiorów z sumą 13 (1+12, 2+11, 3+10, … itd.). Natomiast dla dwóch części bez takiego wymogu możliwe są zamiast jednego rozwiązania (rys. 2) aż 62 różne podziały. Na tyle sposobów można bowiem z 12 różnych liczb od 1 do 12 utworzyć dwa dodawania, z których każde daje sumę 39. Wśród nich są trzy takie pary dodawań, z których jedno ma cztery składniki, a drugie osiem, na przykład 12+11+10+6=9+8+7+5+4+3+2+1.

Dzielenie na różne sposoby cyferblatu gościło dość często jako rozrywka umysłowa w prasie na przełomie XIX i XX wieku. Dziś pojawia się w konkursach dla najmłodszych matematyków – w zadaniach stanowiących jakby wstęp do tematu podziału zbioru liczb od 1 do n na podzbiory o określonych własnościach.

Z tematem tym wiążą się często trudne, skomplikowane zagadnienia. Jedno z nich można nawet „zaanonsować” w formie zegarowej, proponując podział cyferblatu liniami prostymi na trzy takie części, z których każda będzie obejmować podzbiór liczb wolny od sum. W ujęciu matematycznym (kombinatoryka addytywna) zbiorem wolnym od sum jest taki zbiór A, że część wspólna zbiorów A i A+A jest zbiorem pustym. Mówiąc prościej: zbiór jest wolny od sum, jeśli nie zawiera liczby, która byłaby sumą dwu jednakowych lub dwu różnych liczb z tego zbioru.

Taki zbiór, ale nieskończony, tworzą na przykład wszystkie liczby nieparzyste, bo żadna nie może być sumą dwu liczb nieparzystych. Takim jest także „zegarowy” podzbiór {7,8,9,10,11,12}, gdyż suma każdej pary takich samych lub różnych liczb z tego zbioru jest większa od 12. Stąd jedna linia na tarczy (rys. 3). Poprowadzenie drugiej, dzielącej pozostałą część tarczy na dwie części ze zbiorami liczb wolnymi od sum jest, niestety, niewykonalne i w ogóle nie sposób podzielić tarczę prostymi na trzy części z wolnymi od sum zbiorami. Winna temu jest głównie jedynka, która nie może być łączona ani z dwójką, ani z żadną parą kolejnych liczb. Dopiero rezygnacja z linii prostych umożliwia podział, na przykład taki, jak na rys. 4 w formie linii łączących liczby.

Gdyby na tarczy zegara był zbiór liczb od 1 do co najmniej 14, wówczas podział na trzy podzbiory wolne od sum wcale nie byłby możliwy. W ogólnym przypadku dla każdego k istnieje największe n takie, że zbiór liczb od 1 do n można podzielić na k podzbiorów wolnych od sum. Dotąd takie największe zbiory n_max=S(k) znane są tylko dla k≤5 i wynoszą dla kolejnych k: 1, 4, 13, 44, 160. Ostatni został znaleziony przed sześciu laty przez holenderskiego informatyka Marijna Heule. Liczby n_max zwane są liczbami Schura od nazwiska rosyjsko-niemiecko-izraelskiego matematyka Issai Schura (1875–1941), który pisał o nich jako pierwszy.

Wracając do zegara, temat jest ograniczony zakresem liczb od 1 do 12, ale autorzy zadań próbowali go poszerzać oryginalnymi warunkami dotyczącymi podzbiorów albo pewnym fortelem. Nowy warunek towarzyszył na przykład podziałowi tarczy na cztery części w taki sposób, aby sumy liczb w każdej części były czterema kolejnymi liczbami. Łatwo znaleźć te sumy, ale trudniej rozstrzygnąć, czy bez warunku, aby linie dzielące były prostymi, rozwiązanie jest tylko jedno (rys. 5). A jeśli rozwiązań jest więcej, to ile.

Natomiast spektakularnym przykładem wykorzystania fortelu było opublikowane w roku 1909 przez amerykańskiego „króla łamigłówek” Samuela Loyda zadanie, w którym godziny na tarczy oznaczone były jak na starych zegarach wieżowych – liczbami rzymskimi skierowanymi ku środkowi tarczy oraz z czwórką zapisaną w nietypowy, staroświecki sposób czterema jedynkami (rys. 6a). Chodziło o taki podział tarczy na cztery części, aby suma liczb w każdej wynosiła 20. Warunku o liniach prostych nie było, ale był warunek topologicznie tożsamy: linie dzielące nie mogły biec między liczbami a brzegiem tarczy, czyli teoretycznie liczby były „sklejone” z brzegiem. Ponieważ 78 nie dzieli się przez 4, więc trik jest na pierwszy rzut oka widoczny i nietrudno odkryć, że polega na możliwości rozdzielania liniami liczb złożonych z dwu i więcej znaków, czyli większości – poza I, V i X.

Znanych jest 13 rozwiązań zadania Loyda, które można podzielić na 4 grupy, uwzględniając identyczny przebieg dwóch linii dzielących. W pierwszej grupie dwie linie dzielą liczby VII, IX i XI (rys. 6b), a rozwiązań, różniących się przebiegiem trzeciej linii, jest pięć. W drugiej grupie dwiema liniami dzielone jest tylko IX (rys. 6c) – tu także jest pięć rozwiązań. W trzeciej dwie linie rozcinają VIII i IX (rys. 6d) – w dwóch rozwiązaniach. Czwartą „grupę” stanowi jedno rozwiązanie z dwiema liniami rozcinającymi IIII, IX i XI (rys. 6e). Utworzenie wszystkich rozwiązań, czyli poprowadzenie w czterech zegarach na rys. 6 w sumie 13 trzecich linii, wydzielających czwartą część, stanowi kombinacyjno-rachunkowy test spostrzegawczości.

Jak widać, we wszystkich rozwiązaniach jest linia obejmująca „wolne” X oraz X z IX. Linia dzieląca IX jest koniecznością, bo to jedyna możliwość zwiększenia sumy liczb na tarczy o 2 – z 78 do 80 – a to z kolei pozwala na podział na cztery dwudziestki. Linia ta musi też objąć sąsiednie „wolne” X, chyba żeby pozwolić, aby linie dzielące przebiegały między liczbami a brzegiem tarczy. Jednak po takim „poluzowaniu” jest mnóstwo podziałów – przykład na rys. 7 (z powodu wąskiego „prześwitu” zamiast rysować linie znaki należące po podziale do tych samych części tarczy oznaczono jednakowymi kolorami).

Teraz nietrudno także uzasadnić wprowadzenie przez Loyda rzadko spotykanego zapisu rzymskiej czwórki zamiast tradycyjnej postaci IV. Przy takim typowym zapisie pojawiłaby się druga możliwość zwiększenia sumy liczb na planszy o 2, a to zwiększałoby liczbę rozwiązań, która i tak jest spora, co czyni łamigłówkę mniej „elegancką”.

Zadanie Loyda stanowiło inspirację do zastosowania takiego samego triku w przypadku liczb arabskich. Wówczas do rozdzielenia są trzy liczby dwucyfrowe, a każde takie cięcie zmniejsza sumę liczb na tarczy o 9, czyli do 69, 60 albo 51. Efektem była adresowana do uczniów starszych klas podstawówki seria zadań, w których cyferblat dzielony był na trzy części z jednakową sumą liczb w każdej (23, 20 lub 17) albo na cztery części z sumami równymi 15, a dla najmłodszych na sześć części z sumami po 10. Zwykle jednak trik, polegający na możliwości cięcia liczb, był w nich ujawniany. Uznawano bowiem, że podstęp, który uchodzi w łamigłówce, ukryty w zadaniu ściśle matematycznym byłby nie fair. Słabą stroną tych zadań jest to, że mają one sporo rozwiązań albo – jeśli wykluczyć prowadzenie linii dzielących między liczbami a brzegiem tarczy – rozwiązań w ogóle brak, choć w przypadku podziału na sześć części z sumą 10 rozwiązanie wydaje się bliskie (rys. 8); niestety, pozostałej części z liczbami dającymi sumę 20 (2+3+4+5+6) nie da się „ładnie” podzielić na dwie dziesiątki – konieczny jest zawijas oddzielający od brzegu piątkę lub czwórkę.

Mniej znana zegarodzielna zabawa liczbowa wiąże się nie tyle z dzieleniem, ile z wycinaniem. Polega na oznaczaniu na tarczy wycinka kołowego, zawierającego przynajmniej trzy liczby i próbie utworzenia działania arytmetycznego, obejmującego te liczby bez zmiany ich kolejności. Najprostszy przykład to wycinek [1, 2, 3] (rys. 9), umożliwiający działanie 1+2=3. Dozwolone jest korzystanie tylko ze znaków czterech podstawowych działań oraz nawiasów, a ostatnia liczba powinna być wynikiem poprzedzonym oczywiście znakiem równości. Ponadto sąsiednie liczby wolno łączyć, tworząc dłuższe z krótszych, ale dwucyfrowych nie wolno rozdzielać. Dla wycinka [1, 2, 3, 4] rozwiązaniem jest więc działanie 12:3=4, ale nie –1+2+3=4, bo minus przed jedynką nie jest znakiem działania. Inny przykład: 6×(7+8):9=10. Większość małych wycinków nie ma rozwiązań, na przykład [12, 1, 2], a te z dużym kątem środkowym są zwykle twardymi orzechami. Jeden z nich – ekstremalny – jest zadaniem konkursowym.

Zadania

1. Tarczę zegara (rys. 1a) należy podzielić trzema liniami na cztery części. Sumy liczb w tych czterech częściach powinny tworzyć ciąg arytmetyczny, a jedna z sum powinna być równa różnicy ciągu. Linie dzielące nie mogą przebiegać między liczbami a brzegiem tarczy.

2. Podziel tarczę zegara dwiema liniami na trzy części tak, aby suma liczb w każdej części była kwadratem większym od 1. Linie dzielące nie mogą przebiegać między liczbami a brzegiem tarczy.

3. Wszystkie liczby na tarczy zegara, napisane w rzędzie w kolejności rosnącej, tworzą „szkielet” działania:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11=12

„Szkielet” ten należy zmienić w pełne, poprawne działanie w opisany wyżej sposób (dotyczący wycinka kołowego), czyli umieszczając znaki działania (+, –, ×, :) i nawiasy między liczbami oraz tworząc liczby dwu- i więcejcyfrowe przez łączenie krótszych liczb. Dodanych znaków (w tym nawiasów) i utworzonych liczb powinno być w sumie jak najmniej. Ponadto należy wykorzystać każdy z czterech znaków działania. Za poprawne będą uznane działania, w których suma ta będzie nie większa niż 17 (możliwe są rozwiązania z mniejszą sumą).

Przykład:

[(123–45):6×7+8]:9–10+11=12. Liczb jest 8, znaków działania i nawiasów 11, czyli suma końcowa = 19.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 grudnia 2023 roku pocztą elektroniczną (redakcja@swiatnauki.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG 12/23. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Kwantowa dominacja Michio Kaku ufundowaną przez Prószyński Media. Warunkiem udziału w konkursie jest zamieszczenie w e-mailu z odpowiedzią oświadczenia:

Zapoznałam/em się z regulaminem konkursu i akceptuję jego treść oraz wyrażam zgodę na przetwarzanie danych osobowych na potrzeby realizacji konkursu.

Regulamin konkursu jest dostępny na stronie www.swiatnauki.pl.

***

Rozwiązania zadań z numeru październikowego

1. Suma różnych liczb, których kwadraty dają sumę 666 wynosi 76 (1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+13=76) lub 74 (1+2+3+4+5+7+8+9+10+11+14=74).

2. Suma sześciu cyfr na przekątnej łączącej lewy dolny róg z prawym górnym wynosi 24. Pełne rozwiązanie na rys. 10.

3. Ciąg rosnący w stylu Fibonacciego (każdy kolejny wyraz jest sumą dwu poprzednich), w którym liczba 666 pojawia się najpóźniej, zaczyna się parą całkowitych liczb dodatnich 6 i 28 (6, 28, 34, 62, 96, 158, 254, 412, 666, … ).

4. 892×355=316660.

5. Rozwiązanie na rys. 11.

6. Wzór na sumę S(n) n wyrazów ciągu, w którym każdy k-ty wyraz (k=1, 2,…, n) jest liczbą złożoną z k szóstek, to S(n)=2×(10n+1-10):27-2n:3 lub w postaci prostszej obliczeniowo – S(n)=2[10(10n-1):9-n]:3 albo jeszcze prościej – S(n)=2×(10J_n-3):3, gdzie J_n jest liczbą złożoną z n jedynek.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań książkę Gabora Maté i Daniela Maté Mit normalności. Trauma, choroba i zdrowienie w toksyczniej kulturze ufundowaną przez wydawnictwo Czarna Owca otrzymują: Bartłomiej Goldman z Nadarzyna, Aleksandra Markowska-Klocek z Warszawy, Krzysztof Szeruga z Wrocławia, Mariusz Trzyna z Hyżnego, Andrzej Żołyński z Zielonej Góry.

***

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla „Polityki”.